已知圆C与两坐标轴都相切,圆心C到直线y=-x的距离等于√2.（1）求圆C的方程;（2）若直线l与x轴正半轴与y正半轴分别交于A(m,0),B(0,n)两点（m＞2,n＞2）,且直线l与圆C相切,求三角形AOB面积的最小

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/03 13:46:09

已知圆C与两坐标轴都相切,圆心C到直线y=-x的距离等于√2.（1）求圆C的方程;（2）若直线l与x轴正半轴与y正半轴分别交于A(m,0),B(0,n)两点（m＞2,n＞2）,且直线l与圆C相切,求三角形AOB面积的最小
已知圆C与两坐标轴都相切,圆心C到直线y=-x的距离等于√2.
（1）求圆C的方程;
（2）若直线l与x轴正半轴与y正半轴分别交于A(m,0),B(0,n)两点（m＞2,n＞2）,且直线l与圆C相切,求三角形AOB面积的最小值.

已知圆C与两坐标轴都相切,圆心C到直线y=-x的距离等于√2.（1）求圆C的方程;（2）若直线l与x轴正半轴与y正半轴分别交于A(m,0),B(0,n)两点（m＞2,n＞2）,且直线l与圆C相切,求三角形AOB面积的最小
画图易得：（x-1）^2+(y-1)^2=1
面积最小值即：mn/2（min）{那就尽量把它换成是一个字母的在找最值}
要用到：点（圆心）到直线距离公式
我们先设：直线l：x/m+y/n=1 =>化简 nx+my-mn=0
r=|n+m-mn|/√(n^2+m^2)=1
因为题目说（m＞2,n＞2）所以分子去绝对值后为|n+m-mn|/√(n^2+m^2)=mn-m-n/√(n^2+m^2)=1
化简得：n=2(m-1)/(m-2)
mn/2=(m^2-m)/(m-2)
换元啦!设t=m-2(t>0)
原式=(t+2/t)+3 在用基本不等式!
则面积的最小值是3+2√2

圆心C到直线y=-x的距离等于√2.
那么圆心一定在y=x上，用几何法较简单要不就点到直线距离公式可以算出圆心（1，1）半径r=1
由于m,n是完全对称的根据最值理论题目中告诉能取得最小值那么必将是在两变量相等时取得最小值m=n则面积的最小值是3+2√2...

全部展开

圆心C到直线y=-x的距离等于√2.
那么圆心一定在y=x上，用几何法较简单要不就点到直线距离公式可以算出圆心（1，1）半径r=1
由于m,n是完全对称的根据最值理论题目中告诉能取得最小值那么必将是在两变量相等时取得最小值m=n则面积的最小值是3+2√2

收起