数学题,希望能有详解!谢谢!有一条光线沿直线y=4射到抛物线y²=4x上的一点P,经抛物线反射后,反射光线与抛物线的另一个交点Q,O是抛物线的顶点,F是抛物线的焦点,求弦PQ的斜率和△OPQ的面积S

数学题,希望能有详解!谢谢!有一条光线沿直线y=4射到抛物线y²=4x上的一点P,经抛物线反射后,反射光线与抛物线的另一个交点Q,O是抛物线的顶点,F是抛物线的焦点,求弦PQ的斜率和△OPQ的面积S
数学题,希望能有详解!谢谢!
有一条光线沿直线y=4射到抛物线y²=4x上的一点P,经抛物线反射后,反射光线与抛物线的另一个交点Q,O是抛物线的顶点,F是抛物线的焦点,求弦PQ的斜率和△OPQ的面积S.

数学题,希望能有详解!谢谢!有一条光线沿直线y=4射到抛物线y²=4x上的一点P,经抛物线反射后,反射光线与抛物线的另一个交点Q,O是抛物线的顶点,F是抛物线的焦点,求弦PQ的斜率和△OPQ的面积S
有一条光线沿直线y=4射到抛物线y²=4x上的一点P
P（4,4）是入射点,过点P的切线设为Y=K（X-4）+4
与y²=4x只有一个交点,联立得Ky²-4y+16-16K=0
⊿=16-4K（16-16K）=0得K=1/2
所以切线方程为：Y=X/2+2
P（4,4）是入射点,切线Y=X/2+2是反射镜面,
根据入射角等于反射角,先在y=4上任取一点A（6,4）
关于切线Y=X/2+2的对称点为A‘（26/5,28/5）
则点A‘（26/5,28/5）必在其反射光线上,
由P（4,4）与A‘（26/5,28/5）两点式求出反射光线方程,
反射光线方程4X-3Y-4=0,弦PQ的斜率为4/3
反射光线方程4X-3Y-4=0与抛物线y²=4x的另一个交点Q（1/4,-1）
|PQ|=25/4,原点到PQ的距离为4/5
△OPQ的面积S=1/2*4/5*25/4=5/2
思路过程肯定,答案不知对否,作参考,有问题可以问
有一条光线沿直线y=4射到抛物线y²=4x上的一点P
P（4,4）是入射点,
因为直线y=4平行于对称轴,根据焦点聚光的特点,其反射光线必定经过焦点F（1,0）,
所以PQ是由PF所决定,PF的斜率为K=（4-0）/（4-1）=4/3
即弦PQ的斜率为4/3,PQ方程：Y=4（X-1）/3即：反射光线PQ方程为4X-3Y-4=0
与抛物线y²=4x的另一个交点Q（1/4,-1）
则△OPQ的面积S=SOPF+SOQF=1/2*|OF|*（|Y1|+|Y2|）
=1/2*1*（1+4）=5/2

这是初中的还是，，哇，我还没学到呢，我才初一，(*^__^*) 嘻嘻……好难

唉,高中啊,高考唉,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,还好我已经大一了~

P(4, 4)
y²=4x, 2yy' = 4, y' = 2/y
过点P的切线斜率k = 2/4 = 1/2
过点P的法线斜率k' = -2
法线方程:y - 4 = -2(x - 4), y = -2x +12, 与轴的交点为A(6, 0)
A与入射光(y = 4)和反射光的距离相等, 前者为d = 4 - 0 = 4
设反射光的斜率为...

全部展开

P(4, 4)
y²=4x, 2yy' = 4, y' = 2/y
过点P的切线斜率k = 2/4 = 1/2
过点P的法线斜率k' = -2
法线方程:y - 4 = -2(x - 4), y = -2x +12, 与轴的交点为A(6, 0)
A与入射光(y = 4)和反射光的距离相等, 前者为d = 4 - 0 = 4
设反射光的斜率为p, 方程: y - 4 = p(x - 4), px -y + 4(1- p) = 0
A和反射光的距离d' = d = 4 = |6p - 0 + 4(1 - p)|/√(p² + 1) = |2(p + 2)|/√(p² + 1)
平方整理得: 3p² - 4p = 0
p(3p - 4) = 0
k = 0 (入射光, 舍去)
k = 4/3
反射光方程: y = (4/3)(x - 1) (4x - 3y - 4= 0)
代入抛物线: (16/9)(x - 1)² = 4x
4x² - 17x + 4 = 0
(x - 4)(4x - 1) = 0
x = 4 (点P)
x = 1/4, y = (4/3)(1/4 - 1) = -1
Q(1/4, -1)
PQ = √[(4 - 1/4)² + (4 + 1)²] = 25/4
O与反射光的距离h = |-4|/√(4² + 3²) = 4/5
S = (1/2)*PQ*h = (1/2)*(25/4)*4/5
= 5/2

收起