设x,y属于正实数,x+2y=4,则lgx+lgy的最大值如题

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/16 13:40:10
设x,y属于正实数,x+2y=4,则lgx+lgy的最大值如题

设x,y属于正实数,x+2y=4,则lgx+lgy的最大值如题
设x,y属于正实数,x+2y=4,则lgx+lgy的最大值
如题

设x,y属于正实数,x+2y=4,则lgx+lgy的最大值如题
x+2y>=2√(2xy)
所以 xy<=2
lgx+lgy
=lg(xy)<=lg(2)
所以 最大值 lg2

因为x+2y=4。所以y=2-x/2
lgx+lgy=lgx+lg(2-x/2)=lg(x(2-x/2))
x(2-x/2)=-x²/2+2x=-1/2(x²-4x)=-1/2((x-2)²-4)=-1/2(x-2)²+2
很明显
-1/2(x-2)²+2≤2
又y=lgx为增函数
所以lgx+lgy的最大值为lg2

请参考图片中的解题过程: