如何用反证法证明2的平方根是无理数

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/30 22:17:17

如何用反证法证明2的平方根是无理数
如何用反证法证明2的平方根是无理数

如何用反证法证明2的平方根是无理数
假设2的平方根是有理数,那么它一定可以写成p/q的形式（p和q互质）
记为p/q=sqrt(2),那么p^2/q^2=2,即p^2=2q^2,这与p和q互质矛盾,所以根号2是无理数.

证明：假设√2不是无理数，而是有理数。
既然√2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式： √2=p/q
又由于p和q没有公因数可以约去，所以可以认为p/q 为既约分数,即最简分数形式。
把 √2=p/q 两边平方得
2=(p^2)/(q^2)
即 2(q^2)=p^2
由于2q^2是偶数，p 必定为偶数，
设p=2m

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证明：假设√2不是无理数，而是有理数。
既然√2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式： √2=p/q
又由于p和q没有公因数可以约去，所以可以认为p/q 为既约分数,即最简分数形式。
把 √2=p/q 两边平方得
2=(p^2)/(q^2)
即 2(q^2)=p^2
由于2q^2是偶数，p 必定为偶数，
设p=2m
由 2(q^2)=4(m^2) 得 q^2=2m^2
同理q必然也为偶数，设q=2n 既然p和q都是偶数，他们必定有公因数2，这与前面假设p/q是既约分数矛盾。这个矛盾是有假设√2是有理数引起的。
因此√2是无理数。

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