【高中数学=立体几何】如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,AC=BC=3,D为AB中点,AB1⊥如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,AC=BC=3,D为AB中点,AB1⊥A1C.求二面角A1-CD-B1的平面角的余弦值.-----------------

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/30 06:46:22

【高中数学=立体几何】如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,AC=BC=3,D为AB中点,AB1⊥如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,AC=BC=3,D为AB中点,AB1⊥A1C.求二面角A1-CD-B1的平面角的余弦值.-----------------
【高中数学=立体几何】如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,AC=BC=3,D为AB中点,AB1⊥

如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,AC=BC=3,D为AB中点,AB1⊥A1C.求二面角A1-CD-B1的平面角的余弦值.

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【高中数学=立体几何】如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,AC=BC=3,D为AB中点,AB1⊥如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,AC=BC=3,D为AB中点,AB1⊥A1C.求二面角A1-CD-B1的平面角的余弦值.-----------------
由CD⊥AB,CD⊥BB1,
故CD⊥平面A1ABB1,
从而CD⊥DA1,CD⊥DB1,
故∠A1DB1为所求的二面角A1-CD-B1的平面角
因A1D是A1C在面A1ABB1上的射影,
又已知AB1⊥A1C,
由三垂线定理的逆定理得AB1⊥A1D,从而∠A1AB1,∠A1DA都与∠B1AB互余,
因此∠A1AB1=∠A1DA,
所以RT△A1AD∽RT△B1A1A,因此=AA1/AD=A1B1/AA1,
得AA1^2=AD·A1B1=8
从而A1D=根号（AA1^2+AD^2）=2根号3,B1D=A1D=2根号3
所以在三角形A1DB1中,cos∠A1DB1=（A1D^2+DB1^2-A1BA^2）/2A1D*DB1=1/3.
希望我的回答能帮助到您,

因为是【直】三棱柱，所以侧棱垂直于底面，也就垂直于底面上的任意一条直线如CD；

因为底面三角形是等腰三角形，所以CD垂直于AB。

这样，CD垂直于两条相交直线AB,AA1。于是CD垂直于我们面前的侧面ABB1。

我们的叙述，目的就是想法子找到或者构成【使用三垂线定理】的条件。

于是，A1D就是CA1在前侧面上的射影，由三垂线定理的逆定理，可知A1D垂直于AB1。

引A1K垂直于DB1于K，则DK/DA1 就是所求的余弦值。自己可以完成。