作业帮证明连续函数,f：[-√π,√π]→[-1,1] 定义为f(x）=sin(x^2)a).证明 f 是连续函数当a∈：[-√π,√π]b）找到一个ξ使|x-y|≤ξ 意味着|f(x)-f（y)|≤0.1 对所有x,y在[-√π,√π]翻译的不是很好见谅……急
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 22:08:58
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证明连续函数,f：[-√π,√π]→[-1,1] 定义为f(x）=sin(x^2)a).证明 f 是连续函数当a∈：[-√π,√π]b）找到一个ξ使|x-y|≤ξ 意味着|f(x)-f（y)|≤0.1 对所有x,y在[-√π,√π]翻译的不是很好见谅……急
证明连续函数,
f：[-√π,√π]→[-1,1] 定义为
f(x）=sin(x^2)
a).证明 f 是连续函数当a∈：[-√π,√π]
b）找到一个ξ使|x-y|≤ξ 意味着|f(x)-f（y)|≤0.1 对所有x,y在[-√π,√π]
翻译的不是很好见谅……急
怎么题目a完全没看到你用π或者是根号……你回答的是a么……我数学不太好见谅
证明连续函数,f：[-√π,√π]→[-1,1] 定义为f(x）=sin(x^2)a).证明 f 是连续函数当a∈：[-√π,√π]b）找到一个ξ使|x-y|≤ξ 意味着|f(x)-f（y)|≤0.1 对所有x,y在[-√π,√π]翻译的不是很好见谅……急
a) 见图
b)对于这一问,也就是一致连续的问题.
有个简单的方法,就是求出f（x）导数的最大值,
上述问题等价于：对于任意x,当a属于【-ξ,ξ】,有|f(x+a)-f（x）|≤0.1
利用a）的结果,有|f(x+a)-f（x）|≤2|sin((a^2+2ax)/2)|≤0.1
现在我们来看看（a^2+2ax)/2的范围,显然我们发现当x=√π,a=ξ时取到最大值ξ^2+2ξx,最小值为-(x^2)/2.取到最小值是有条件的：就是a可以取到-x
显然,我们又发现,如果真的取到最小值-(x^2)/2,那我们就完了,因为对于任意的x,上述不等式是决计满足不了的.那唯一的方法是,缩小ξ,让它取不到-(x^2)/2,也就是说ξ不可能很大.
解决了上面的疑问,我们基本就出来了,只要满足 2|sin((ξ^2+2ξ√π)/2)|≤0.1
你自己解一下ξ吧
