已知平行四边形ABCD中,连接AC,AC=BC,点P为BC上的一点,作∠APQ=60°且PQ与CD相相交于点Q,当∠B=60度时求证PA=PQ（不能用圆,相似,三角函数）在1的条件下，PQ交AC于点K，若PQ=7,BP比DQ=3比5，求QK的长

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 21:37:01

已知平行四边形ABCD中,连接AC,AC=BC,点P为BC上的一点,作∠APQ=60°且PQ与CD相相交于点Q,当∠B=60度时求证PA=PQ（不能用圆,相似,三角函数）在1的条件下，PQ交AC于点K，若PQ=7,BP比DQ=3比5，求QK的长
已知平行四边形ABCD中,连接AC,AC=BC,点P为BC上的一点,作∠APQ=60°且PQ与CD相相交于点Q,当∠B=60度时
求证PA=PQ（不能用圆,相似,三角函数）
在1的条件下，PQ交AC于点K，若PQ=7,BP比DQ=3比5，求QK的长

已知平行四边形ABCD中,连接AC,AC=BC,点P为BC上的一点,作∠APQ=60°且PQ与CD相相交于点Q,当∠B=60度时求证PA=PQ（不能用圆,相似,三角函数）在1的条件下，PQ交AC于点K，若PQ=7,BP比DQ=3比5，求QK的长
最简洁的方法应该如下:
1)证明:AC=BC,∠B=60°,则⊿ABC和⊿ADC均为等边三角形,得AB=BC;∠PCF=120°.
在BA上截取BE=BP,则AE=PC;连接PE.又∠B=60°,故⊿BPE为等边三角形,∠BEP=60°.
∵∠PAE=180°-∠B-∠APB=120°-∠APB;∠QPC=180°-∠APQ-∠APB=120°-∠APB.
∴∠PAE=∠QPC(等量代换);又AE=PC(已证);∠AEP=∠PCQ=120° .
∴⊿AEP≌⊿PCQ(ASA),AP=PQ.
2)解:设BP=PE=3m,则DQ=5m.
∵⊿AEP≌⊿PCQ(已证).
∴CQ=EP=3m;BC=AC=CD=8m,PC=BC-BP=5m.故CQ:PC=3:5.
∵∠PCD=∠QCK=60°.
∴点K到CQ和CP的距离相等(角平分线的性质);
则S⊿QKC:S⊿PKC=CQ:PC=3:5(等高三角形的面积比等于底之比);
又S⊿QKC:S⊿PKC=QK:PK(同高三角形的面积比等于底之比).
∴QK:PK=CQ:PC=3:5,则QK:PQ=3:8,QK=(3/8)PQ=(3/8)*7=21/8.

全部展开

①∵AC＝BC，∠B＝60°∴ΔABC为等边三角形
∵ABCD为平行四边形
∴四边形ABCD为菱形
∴∠ACQ＝60°又∵∠APQ＝60°
∴四点A、P、C、Q共圆
∴∠PAC＝∠PQC，∠CPQ＝∠CAQ
∵∠BCQ＝120°∴∠PQC＋∠QPC＝60°
∴∠PAC＋∠CAQ＝60°
即∠PAQ＝60°又∵∠APQ＝60°∴ΔAPQ为等边三角形故AP＝PQ
②易证ΔBAP≌ΔCAQ，ΔPAC≌ΔQAD∴BP＝CQ，PC＝QD
∵BP：DQ＝3∶5，设BP＝3x，DQ＝5x∴CQ＝3x，PC＝5x
作QE⊥BE∵∠QCE＝60°∴CE＝CQ•sin30°＝3x/2
QE＝CQcos30°＝3√3/2
∴PE^2=(PC+CE)^2=(5x+3x/2)^2=(169x^2)/4
∵PQ^2＝PE^2＋QE^2
∴7^2=(169x^2)/4+(27x^2)/4=(196x^2)/4
解得x＝2
故BP＝6，DQ＝10，BC＝16
设QK＝a，CK＝b∴PK＝7－a，AK＝16－b
∵ΔAPK∽ΔQCK
∴CQ/AP=KQ/AK=CK/PK, 即6/7=a/(16-b)=b/(7-a)
解得a=420/13
故QK=420/13

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