作业帮证明题求思路,是否要用到拉格朗日中值定理?设任意函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且a
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 05:47:52
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证明题求思路,是否要用到拉格朗日中值定理?设任意函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且a
证明题求思路,是否要用到拉格朗日中值定理?
设任意函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且a
证明题求思路,是否要用到拉格朗日中值定理?设任意函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且a
拉格朗日中值定理是微分相关的定理,本题中不牵涉到微分,只提到连续,并不明确是否可导.
因此不能用拉格朗日中值定理
看到连续,一般考虑介值定理（或其特殊情况：零值定理）
证明：
令g(x)=c1·f(x1)+c2·f(x2)-(c1+c2)·f(x)
则g(x)亦在闭区间[a,b]上连续
g(x1)=c1·f(x1)+c2·f(x2)-(c1+c2)·f(x1)=c2·[f(x2)-f(x1)]
g(x2)=c1·f(x1)+c2·f(x2)-(c1+c2)·f(x2)=c1·[f(x1)-f(x2)]
∵c1,c2为任意正常数,即c1>0,c2>0
∴g(x1)和g(x2)异号
由零值定理知,在[a,b]内至少有一点d,使g(d)=0
即c1·f(x1)+c2·f(x2)-(c1+c2)·f(d)=0
c1·f(x1)+c2·f(x2)=(c1+c2)·f(d)
证毕
利用闭区间上连续函数的性质。
因为函数在闭区间上连续，所以必存在最大值和最小值，设为M，m
(c1+c2)m<=c1·f(x1)+c2·f(x2)<=(c1+c2)·M,注：c1,c2为正常数，故可保证大小于符号方向。
由介值定理知，在[a,b]内至少有一点d，使得c1·f(x1)+c2·f(x2)=(c1+c2)·f(d)....
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利用闭区间上连续函数的性质。
因为函数在闭区间上连续，所以必存在最大值和最小值，设为M，m
(c1+c2)m<=c1·f(x1)+c2·f(x2)<=(c1+c2)·M,注：c1,c2为正常数，故可保证大小于符号方向。
由介值定理知，在[a,b]内至少有一点d，使得c1·f(x1)+c2·f(x2)=(c1+c2)·f(d).
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