作业帮如果一个逻辑函数F恒等于其对偶函数Fd,则称其为自偶函数.设一个7变量的函数F,当且仅当4个或4个以上的自变量为1时,F=1；否则F=0.该函数是否为自偶函数?若是,请证明之；若不是,请说明理由.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 11:11:59
如果一个逻辑函数F恒等于其对偶函数Fd,则称其为自偶函数.设一个7变量的函数F,当且仅当4个或4个以上的自变量为1时,F=1；否则F=0.该函数是否为自偶函数?若是,请证明之；若不是,请说明理由.
如果一个逻辑函数F恒等于其对偶函数Fd,则称其为自偶函数.设一个7变量的函数F,当且仅当4个或4个以上的自变量为1时,F=1；否则F=0.该函数是否为自偶函数?若是,请证明之；若不是,请说明理由.
如果一个逻辑函数F恒等于其对偶函数Fd,则称其为自偶函数.设一个7变量的函数F,当且仅当4个或4个以上的自变量为1时,F=1；否则F=0.该函数是否为自偶函数?若是,请证明之；若不是,请说明理由.
是自偶函数；
证明：
任何逻辑函数F(x),与它的对偶函数Fd(x),都有这样一条性质：
①：F(x)′ = Fd(x′)；（注：M′表示M的非,M既可以是逻辑函数,也可以是逻辑变量）
即：公式的否定,等值于其“变元否定”之后的对偶式；
而自偶函数的性质是：
②：F(x) = Fd(x)；
结合①、②可知,自偶函数必然具有这样一个新的性质：
③：F(x)′ = Fd(x′) = F(x′)
即：公式的否定,等值于其“变元否定”之后的公式；
换言之就是：将公式中的每个变元取反之后,公式的结果也翻转.
不难发现,这个性质③与自偶函数的定义②是等价的.
比如以下这两个函数都是自偶函数：
二元：
F(00) = F(10) = 0
F(11) = F(01) = 1
三元：
F(000) = F(110) = F(011) = F(010) = 0
F(111) = F(001) = F(100) = F(101) = 1
对于题目中所定义的这个7元函数：7个变元中,4个以上取值为1.
7个变元,取值为1的变元个数不外乎：
0、1、2、3、4、5、6、7；
与之对应的,就是取值为0的变元的个数：
7、6、5、4、3、2、1、0；
对于任何一个取值组合：
如果1的个数达到或超过4个,那0的个数必然少于4个；根据函数定义此时结果为1；
而将所有变元取反后,就是：1的个数必然少于4个,根据函数定义此时结果为0；
这完全符合自偶函数的要求.