作业帮若复数z满足|z+1|^2-|z-i|^2=1,求|z|的最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 23:49:54
若复数z满足|z+1|^2-|z-i|^2=1,求|z|的最小值
若复数z满足|z+1|^2-|z-i|^2=1,求|z|的最小值
若复数z满足|z+1|^2-|z-i|^2=1,求|z|的最小值
设z=x+yi (x,y为实数)
1=|z+1|^2-|z-i|^2
=|(x+1)+yi|^2-|x+(y-1)i|^2
=(x+1)^2+y^2-[x^2+(y-1)^2]
=x^2+2x+1+y^2-(x^2+y^2-2y+1)
=2x+2y
即：y=-x+1/2
|z|=√(x^2+y^2)=√[x^2+(-x+1/2)^2]
=√(x^2+x^2-x+1/4)
=√[2(x-1/4)^2+1/8]
>=√(1/8)=√2/4
所以：min|z|=√2/4 (x=1/4时取得最小值)
设z=a+bi，则
∵|z+1|^2-|z-i|^2=|(a+1)+bi|^2-|a+(b-1)i|^2
=(a+1)^2+b^2-a^2-(b-1)^2
=a^2+2a+1+b^2-a^2-b^2+2b-1
=2a+2b
=2(a+b)=1
∴a+b=1/2
∵a^2+b^2≥2ab
∴2a^2+2b^2≥a^2+2ab+b^2=(...
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设z=a+bi，则
∵|z+1|^2-|z-i|^2=|(a+1)+bi|^2-|a+(b-1)i|^2
=(a+1)^2+b^2-a^2-(b-1)^2
=a^2+2a+1+b^2-a^2-b^2+2b-1
=2a+2b
=2(a+b)=1
∴a+b=1/2
∵a^2+b^2≥2ab
∴2a^2+2b^2≥a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
∴a^2+b^2≥(a+b)^2/2
∴|z|= |a+bi|=√(a^2+b^2)≥√((a+b)^2/2)=√((1/2)^2/2)=1/(2√2)
当a=b=1/4时，|z|=1/(2√2)
∴min(|z|)=1/(2√2)
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