作业帮【急】求数学大神证明(n趋于无穷大)lim n(1/(n^2+a)+1/(n^2+2a)+...+1/(n^2+na))=1用夹逼准则证
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 02:19:46
【急】求数学大神证明(n趋于无穷大)lim n(1/(n^2+a)+1/(n^2+2a)+...+1/(n^2+na))=1用夹逼准则证
【急】求数学大神证明(n趋于无穷大)lim n(1/(n^2+a)+1/(n^2+2a)+...+1/(n^2+na))=1用夹逼准则证
【急】求数学大神证明(n趋于无穷大)lim n(1/(n^2+a)+1/(n^2+2a)+...+1/(n^2+na))=1用夹逼准则证
a≥0时,有
lim n(1/(n^2+a)+1/(n^2+2a)+...+1/(n^2+na))≥lim n(1/(n^2+a)+1/(n^2+a)+...+1/(n^2+a))
=lim n(n/(n^2+a))=lim(n^2/(n^2+a))=lim(1/(1+a/n^2))=1 (n->∞)
同时有
lim n(1/(n^2+a)+1/(n^2+2a)+...+1/(n^2+na))≤lim n(1/(n^2+na)+1/(n^2+na)+...+1/(n^2+na))
=lim n(n/(n^2+na))=lim(n^2/(n^2+na))=lim(1/(1+a/n))=1 (n->∞)
即同时有 1≤lim n(1/(n^2+a)+1/(n^2+2a)+...+1/(n^2+na))≤1
∴lim n(1/(n^2+a)+1/(n^2+2a)+...+1/(n^2+na))=1
a≤0时,有
lim n(1/(n^2+a)+1/(n^2+2a)+...+1/(n^2+na))≤lim n(1/(n^2+na)+1/(n^2+na)+...+1/(n^2+na))
=lim n(n/(n^2+na))=lim(n^2/(n^2+na))=lim(1/(1+a/n))=1 (n->∞)
同时有
lim n(1/(n^2+a)+1/(n^2+2a)+...+1/(n^2+na))≥lim n(1/(n^2+a)+1/(n^2+a)+...+1/(n^2+a))
=lim n(n/(n^2+a))=lim(n^2/(n^2+a))=lim(1/(1+a/n^2))=1 (n->∞)
即同时有 1≤lim n(1/(n^2+a)+1/(n^2+2a)+...+1/(n^2+na))≤1
∴lim n(1/(n^2+a)+1/(n^2+2a)+...+1/(n^2+na))=1
综上所述,lim n(1/(n^2+a)+1/(n^2+2a)+...+1/(n^2+na))=1
大于n*(1/(n^2+na) *n) 小于n*（1/（n^2+a) *n
即大于n/(n+a)小于n^2/(n^2+a) 而后两者极限都为一
由夹逼法则得到原式极限是1
首尾比就好了,
a>0
n^2/(n^2+na)=n(n/(n^2+na))
a<0不等号反向,等于1
a=0显然1a=0为什么为1，如果a=0的话，原式不就是lim1/n了吗，n趋无穷大这不...
全部展开
首尾比就好了,
a>0
n^2/(n^2+na)=n(n/(n^2+na))
a<0不等号反向,等于1
a=0显然1
收起
有a>0这个条件吗？
如果a>0：
因为n/(n^2+na)≤(1/(n^2+a)+1/(n^2+2a)+...+1/(n^2+na))≤n/(n^2+a)
且lim n·n/(n^2+na)=lim n·n/(n^2+a) =1
所以原极限=1
可知道：n²/(n²+na)≤n(1/(n^2+a)+1/(n^2+2a)+...+1/(n^2+na))
故由夹逼定理可知：lim n(1/(n^2+a)+1/(n^2+2a)+...+1/(n^2+na))=1