证明一个不等式高中(x+1/x)^n+2>=x^n+1/(x^n)+2^nn=1,2,3,4.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 23:07:11

证明一个不等式高中(x+1/x)^n+2>=x^n+1/(x^n)+2^nn=1,2,3,4.
证明一个不等式高中
(x+1/x)^n+2>=x^n+1/(x^n)+2^n
n=1,2,3,4.

证明一个不等式高中(x+1/x)^n+2>=x^n+1/(x^n)+2^nn=1,2,3,4.
二项式定理求解
(x+1/x)^n=x^n+x^(n-2)+……+x^2+1+x^(-2)+……+x^(-n+2)+x(-n)（二项式定理）
所以(x+1/x)^n-(x^n+1/x^n)
=x^(n-2)+……+x^2+1+x^(-2)+……+x^(-n+2)
=(x+1/x)^(n-2)
根据不等式x+1/x ≥2
所以(x+1/x)^(n-2) ≥2^(n-2)
(x+1/x)^n-(x^n+1/x^n)≥2^n-2
即(x+1/x)^n+2≥(x^n+1/x^n)+2^n

用数学归纳法来证明吧……
当n=1时等式显然成立
当n=k是假设等式成立
有
(x+1/x)^k+2>=x^k+1/(x^k)+2^k
即
(x+1/x)^k>=x^k+1/(x^k)+2^k-2
那么当n=k+1时
有 (x+1/x)^(k+1)=(x+1/x)^k*(x+1/x)>=(x^k+1/(x^k)+2^k-2)*(x+1/x) 展开可证

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证明一个不等式 高中(x+1/x)^n+2>=x^n+1/(x^n)+2^nn=1,2,3,4.

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