作业帮已知三角形ABC为直角三角形,角BAC=90度,AD垂直于D,求证向量BC的模*2=向量DB+向量DA的模*2+向量DC+向量DA的模*2
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 06:13:49
已知三角形ABC为直角三角形,角BAC=90度,AD垂直于D,求证向量BC的模*2=向量DB+向量DA的模*2+向量DC+向量DA的模*2
已知三角形ABC为直角三角形,角BAC=90度,AD垂直于D,求证向量BC的模*2=向量DB+向量DA的模*2+向量DC+向量DA的模*2
已知三角形ABC为直角三角形,角BAC=90度,AD垂直于D,求证向量BC的模*2=向量DB+向量DA的模*2+向量DC+向量DA的模*2
向量加减用到平行四边形法则,所以
过B点做平行四边形ADBF,由于AD垂直BC,所以四边形ADBF是矩形,则有BD//AF,AD//BF,且AD=BF
过C点做平行四边形ADCF,由于AD垂直BC,所以四边形ADCE是矩形则有CD//AE,AD//CE,且AD=CE
因为BC//AF,BC//AE,所以A、F、E三点共线,AD平行等于BF,同时AD平行等于CE,则BF平行等于CE,所以四边FBCE是平行四边形且是矩形,BC=EF
平行四边形ADBF,向量DA=向量BF
平行四边形ADCF,向量DA=向量CE
所以：向量DB+向量DA=向量DB+向量BF=向量DF
同理：向量DC+向量DA=向量DC+向量CE=向量DE
所以：|向量DB+向量DA|=|向量DF| =DF （||表示向量的模）
|向量DC+向量DA|=|向量DE|=DE
|向量BC|=BC
ADBF是矩形,ADCE是矩形,FBCE是矩形,很容易证明∠FDE=90°,即：三角形FDE是直角三角形,有勾股定理知：EF^2=DF^2+DE^2
BC=EF
所以：BC^2=DF^2+DE^2
所以：|向量BC|^2=|向量DF|^2+|向量DE|^2
综上：：|向量BC|^2=|向量DC+向量DA|^2+|向量DB+向量DA|^2
向量加减用到平行四边形法则，所以 过B点做平行四边形ADBF，由于AD垂直BC，所以四边形ADBF是矩形，则有BD//AF，AD//BF,且AD=BF 过C点做平行四边形ADCF，由于AD垂直BC，所以四边形ADCE是矩形则有CD//AE，AD//CE，且AD=CE 因为BC//AF,BC//AE,所以A、F、E三点共线，AD平行等于BF，同时AD平行等于CE，则BF平行等于CE，所以四边FBCE是平行四边形且是矩形，BC=EF 平行四边形ADBF，向量DA=向量BF 平行四边形ADCF，向量DA=向量CE 所以：向量DB+向量DA=向量DB+向量BF=向量DF 同理：向量DC+向量DA=向量DC+向量CE=向量DE 所以：|向量DB+向量DA|=|向量DF| =DF （||表示向量的模） |向量DC+向量DA|=|向量DE|=DE |向量BC|=BC ADBF是矩形，ADCE是矩形，FBCE是矩形，很容易证明∠FDE=90°，即：三角形FDE是直角三角形，有勾股定理知：EF^2=DF^2+DE^2 BC=EF 所以：BC^2=DF^2+DE^2 所以：|向量BC|^2=|向量DF|^2+|向量DE|^2 综上：：|向量BC|^2=|向量DC+向量DA|^2+|向量DB+向量DA|^2
向量加减用到平行四边形法则，所以 过B点做平行四边形ADBF，由于AD垂直BC，所以四边形ADBF是矩形，则有BD//AF，AD//BF,且AD=BF 过C点做平行四边形ADCF，由于AD垂直BC，所以四边形ADCE是矩形则有CD//AE，AD//CE，且AD=CE 因为BC//AF,BC//AE,所以A、F、E三点共线，AD平行等于BF，同时AD平行等于CE，则BF平行等于CE，所以四边FBCE是平行四边形且是矩形，BC=EF 平行四边形ADBF，向量DA=向量BF 平行四边形ADCF，向量DA=向量CE 所以：向量DB+向量DA=向量DB+向量BF=向量DF 同理：向量DC+向量DA=向量DC+向量CE=向量DE 所以：|向量DB+向量DA|=|向量DF| =DF （||表示向量的模） |向量DC+向量DA|=|向量DE|=DE |向量BC|=BC ADBF是矩形，ADCE是矩形，FBCE是矩形，很容易证明∠FDE=90°，即：三角形FDE是直角三角形，有勾股定理知：EF^2=DF^2+DE^2 BC=EF 所以：BC^2=DF^2+DE^2 所以：|向量BC|^2=|向量DF|^2+|向量DE|^2 综上：：|向量BC|^2=|向量DC+向量DA|^2+|向量DB+向量DA|^2
因为：DB·DA=0，而：|DB+DA|^2=(DB+DA)·(DB+DA)=|DB|^2+|DA|^2+2DB·DA
=|DB|^2+|DA|^2，|DB-DA|^2=(DB-DA)·(DB-DA)=|DB|^2+|DA|^2-2DB·DA=|DB|^2+|DA|^2
故：|DB+DA|=|DB-DA|，这是直角三角形里向量的性质。同理：|DC+DA|=|DC-DA|
而：AB=DB-DA，即：|AB|=|DB-DA|=|DB+DA|，同理：|AC|=|DC-DA|=|DC+DA|
而据勾股定理：|BC|^2=|AB|^2+|AC|^2=|DB+DA|^2+|DC+DA|^2，证毕。
收起