作业帮证明二元函数不可微设f(x,y)=xy/√x^2+y^2,(x,y)≠(0,0)0,(x,y)=(0,0)证明f(x,y)在点(0,0)不可微.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 22:24:52
证明二元函数不可微设f(x,y)=xy/√x^2+y^2,(x,y)≠(0,0)0,(x,y)=(0,0)证明f(x,y)在点(0,0)不可微.
证明二元函数不可微
设f(x,y)=xy/√x^2+y^2,(x,y)≠(0,0)
0,(x,y)=(0,0)
证明f(x,y)在点(0,0)不可微.
证明二元函数不可微设f(x,y)=xy/√x^2+y^2,(x,y)≠(0,0)0,(x,y)=(0,0)证明f(x,y)在点(0,0)不可微.
先求偏导数：
fx
=lim(△x→0) [f(0+△x,0)-f(0,0)] / △x
=0
fy
=lim(△y→0) [f(0,0+△y)-f(0,0)] / △y
=0
再求全增量
△f
=f(0+△x,0+△y)-f(0,0)
=△x△y / √(△x^2+△y^2)
反证法,假设f在(0,0)可微,那么必有：
△f=0△x+0△y+0△x+[△x / √(△x^2+△y^2)]△y
但是,
lim[(△x,△y)→(0,0)] △x / √(△x^2+△y^2)并不等于零（△x=△y即得出极限为1/2）
这与可微是矛盾的
因此,f在(0,0)处是不可微的
有不懂欢迎追问
记f关于x的偏导数为fx（*，*），f在关于y的偏导数为fy（*，*），r为√dx^2+dy^2。则
由偏导数的定义，可以求得fx（0，0）等于0，就是[f（dx,0）-f（0,0）]/dx当dx趋于0的时候的极限是0。同理可得f在（0，0）点关于y的偏导数也等于0。
若函数f在远点可微，则按可微的定义，应有
f（dx,dy）-f（0,0）-[fx(0,0)dx+fy(0,...
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记f关于x的偏导数为fx（*，*），f在关于y的偏导数为fy（*，*），r为√dx^2+dy^2。则
由偏导数的定义，可以求得fx（0，0）等于0，就是[f（dx,0）-f（0,0）]/dx当dx趋于0的时候的极限是0。同理可得f在（0，0）点关于y的偏导数也等于0。
若函数f在远点可微，则按可微的定义，应有
f（dx,dy）-f（0,0）-[fx(0,0)dx+fy(0,0)dy]=dxdy/r
考察(dxdy/r)/r在dx,dy同时趋于0时的极限，即dxdy/r^2在dx,dy同时趋于0时的极限。
而这个极限很容易证明是不存在的（简单点来说就是令dy=kdx，k就是直线的斜率，代进去就知道极限与k有关）
从而，f在原点不可微。
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