鸡兔同笼的解法和公式

鸡兔同笼的解法和公式
鸡兔同笼的解法和公式

鸡兔同笼的解法和公式
鸡兔同笼是我国古代著名趣题之一.大约在1500年前,《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题.书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里,从上面数,有35个头；从下面数,有94只脚.求笼中各有几只鸡和兔?假设法：假设全是鸡：2×35＝70(只) 比总脚数少的：94－70＝24 (只) 它们腿的差：4—2=2（条） 兔：24÷2＝12 (只) 鸡：35－12＝23(只) 方程：设兔有x只,则鸡有35-x只.4x+2(35-x)=94 4x+70-2x=94 2x=24 x=24÷2 x=12 35-x=35-12=23 答：兔有12只,鸡有23只.我国古代《孙子算经》共三卷,成书大约在公元5世纪.这本书浅显易懂,有许多有趣的算术题,比如“鸡兔同笼”问题：今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?题目中给出了鸡兔共有35只,如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来,看作是一只脚,两只后脚也用绳子捆起来,看作是一只脚,那么,兔子就成了2只脚,即把兔子都先当作两只脚的鸡.鸡兔总的脚数是35×2=70（只）,比题中所说的94只要少94-70=24（只）.现在,我们松开一只兔子脚上的绳子,总的脚数就会增加2只,即70+2=72（只）,再松开一只兔子脚上的绳子,总的脚数又增加2,2,2,2……,一直继续下去,直至增加24,因此兔子数：24÷2=12（只）,从而鸡有35-12=23（只）.我们来总结一下这道题的解题思路：如果先假设它们全是鸡,于是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚,把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较,看看差多少,每差2只脚就说明有1只兔,将所差的脚数除以2,就可以算出共有多少只兔.概括起来,解鸡兔同笼题的基本关系式是：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡脚数）.类似地,也可以假设全是兔子.我们也可以采用列方程的办法：设兔子的数量为X,鸡的数量为Y 那么：X+Y=35那么4X+2Y=94 这个算方程解出后得出：兔子有12只,鸡有23只.

假设法和设元列方程的方法较常见常见
而且个中不同设法还有很多种不同的变化
现在来说说图解法和公式法
英国数学教育家贝克浩斯（Backhousl）在研究“问题解决”时首先提到的是中国古算题，其中包括鸡兔同笼问题、100个和尚买100个馒头问题等。解这些问题需要想象，解者在其情景中有明确的且力所能及的目的，但缺少现成的方法达到此目的，因此常常作为夜航船中或纳凉赏月时的一种...

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假设法和设元列方程的方法较常见常见
而且个中不同设法还有很多种不同的变化
现在来说说图解法和公式法
英国数学教育家贝克浩斯（Backhousl）在研究“问题解决”时首先提到的是中国古算题，其中包括鸡兔同笼问题、100个和尚买100个馒头问题等。解这些问题需要想象，解者在其情景中有明确的且力所能及的目的，但缺少现成的方法达到此目的，因此常常作为夜航船中或纳凉赏月时的一种试智比知式考问的备办学问，一代一代传下来，还传到世界各地，鸡兔问题传到日本叫龟鹤问题。明代作家张岱曾说：“天下学问，惟夜航船中最难对付”。又到纳凉的季节，老公公们要用这些问题来试试儿孙辈的学问怎样？有位小朋友听了老公公提出的问题，觉得难度不大，便满怀信心地对老公公说：慢点，让我打开灯，拿纸和笔。老公公讲不用笔就不可以算吗？这一下，许多小朋友都被难住了。显然老公公解这些难题的技巧肯定不同凡响，那么老公公是怎样解这些问题的呢？我们先举个例子说说。
一、鸡兔同笼问题
例1 笼中有若干只鸡和兔，它们共有50个头和140只脚，问鸡兔各有多少只？
解法2 图形法
图形见
http://forum.cnool.net/topic_show.jsp?id=3441350&thesisid=407&flag=topic1
从图中看ACDF的面积＝4×50＝200（只脚）， 比实际多出 GHEF的面积＝200-140＝60（只脚）， AB=GH=60÷2=30（只鸡）， BC=AC-AB=50-30＝20（只兔）
解法2比解法1高级，算理是一样的。这里答案是图上算出的，显然这两种解法都要用纸和笔。不用纸和笔肯定是用口诀或易记的公式，这是老公公的传家宝。
解法3 公式法
老公公讲：只要用哨子一吹，并喊一声口令：“全体肃立”。这时每只鸡呈金鸡独立之状，每只兔呈玉兔拜月状，着地的脚数之和有（140÷2＝）70（只），其中鸡的头数与脚数相等，由于每只兔的脚比头数多1，因此兔的头数为（70－50＝）20（个），即兔有20只，则鸡有（50－20＝）30（只）。这个故事实际上老公公用了如下的公式。
脚数和÷2-头数和=兔子数。
小孙子们听了兴趣为之大增，纷纷叫老公公再出几道题。老公公又出了
（1）30个头，80只脚……。（兔10，鸡20）。
（2）100只脚，40个头……。（兔10，鸡30）。
（3）80个头，200只脚……。（兔20，鸡60）
小孙子们个个都愉快地答出来了。
这个公式简洁好用，它是祖代传下来的还是老公公想出来的呢？我们中华文化博大精深，这两种可能性都是有的。这个公式是碰巧做对还是符合算理的呢？这是十分重要的。数学家高斯说过：“数学中许多方法与定理是靠归纳发现的，证明只是补行的手续而已。”现在我们就来补行这个手续。
2鸡头=鸡脚。
4兔头=兔脚。
得：兔脚+鸡脚=2鸡头+4兔头
=2（鸡头+2兔头）。
这就证明了老公公归纳的公式。
说到鸡兔同笼问题，常常大家精神就紧张起来，以为是难题来了。现在掌握了规律其实不难，所以凡事都应去摸索规律，照规律办事。
鸡兔同笼问题在民间是当故事讲的，有没有实际价值呢？
或者解答思路是这样的：
假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独角鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”。这样，（1）鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；（2）如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即47－35＝12（只）。显然，鸡的只数就是35－12＝23（只）了。
这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已。这种思维方法叫化归法。
《孙子算经》上的解法很巧妙，它是按公式：兔数 足数－头数来算的，具体计算是这样的：兔数 （只），鸡数＝头数－免数＝35－12＝23，并且书中还给出了公式的来历：把足数除以2以后，每只鸡只剩下一足，每只兔剩下两足了，减去头数，就相当于每只鸡兔再减去一只，鸡足减完了，剩下的每只兔只有一足了，此时所剩足数恰好等于兔子头数.
鸡兔同笼的公式：
解法1：（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）
=鸡的只数
总只数－鸡的只数=兔的只数
解法2：（ 总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）
=兔的只数
总只数－兔的只数=鸡的只数

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解题关健：鸡兔问题是我国古代著名数学问题之一，也叫“鸡兔同笼”问题。解答鸡兔同笼问题，一般采用假设法，假设全部是鸡，算出脚数，与题中给出的脚数相比较，看差多少，每差一个(4－2)只脚，就说明有1只兔，将所差的脚数除以(
4－2 )，就可求出兔的只数。同理，假设全部是兔，可求出鸡。
1、鸡兔同笼共80头，208只脚，鸡和兔各有几只？
分析：
假设这80头全是鸡，那么...

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解题关健：鸡兔问题是我国古代著名数学问题之一，也叫“鸡兔同笼”问题。解答鸡兔同笼问题，一般采用假设法，假设全部是鸡，算出脚数，与题中给出的脚数相比较，看差多少，每差一个(4－2)只脚，就说明有1只兔，将所差的脚数除以(
4－2 )，就可求出兔的只数。同理，假设全部是兔，可求出鸡。
1、鸡兔同笼共80头，208只脚，鸡和兔各有几只？
分析：
假设这80头全是鸡，那么，脚应是2×80＝160 (只)，比实际少 208－160＝48
(只)脚，这是因为1只兔有4只脚，把它看成是2只脚的鸡了，每只兔少算了2只脚，共少算了48只脚，48里面有几个2，就是几只兔。
( 208－2×80 )÷( 4－2 )
＝48÷2
＝24 (只) ------ 兔
80－24＝56 (只)
答：鸡有56只，兔有24只。
也可以假设80只全是兔，解答如下：
( 4×80－208 )÷( 4－2 )
＝112÷2
＝56 (只) ------ 鸡
80－56＝24 ( 只)
2、小明参加一次数学竞赛，试题共有10道，每做对一题得10分，错一题扣5分，小明共得了70分，他做对了几道题？
分析：
假设他做对了10道题，那么应得10×10＝100
(分)，而实际只得70分，少30分，这是因为每做错一题，不但得不到10分，反而倒扣5分，这样做错一题就会少10＋5＝15
(分)，看30分里面有几个15分，就错了几题。
( 10×10－70 )÷( 10＋5 )
＝30÷15
＝2 (道) ------ 错题
10－2＝8 (道)
答：他做对了8道题。
3、有面值5元和10元的钞票共100张，总值为800元。5元和10元的钞票各是多少张？
分析：
假设100张钞票全是5元的，那么总值就是5×100＝500
(元)，与实际相差800－500＝300 元
差的300元，是因为将10元1张的算作了5元的，每张少计算10－5＝5
(元)，差的300元里面有多少个5元，就是多少张10元的钞票。
( 800－5×10 )÷( 10－5 )
＝300÷5
＝60 (张) ------ 10元面值
100－60＝40 (张)
答：有10元的钞票60张，5元的钞票40张。
4、有蜘蛛、蜻蜓和蝉三种动物共21只，共140条腿和23对翅膀，三种动物各多少只？(
蜘蛛8条腿，蜻蜓6条腿2对翅膀，蝉6条腿1对翅膀 )
分析：
假设蜘蛛、蜻蜓、蝉都是6条腿，那么总腿数是6×21＝126
(条)，比实际少140－126＝14(
条)，这是因为一只蜘蛛是8条腿，把它算作6条腿，每只蜘蛛少计算了8－6＝2
(条)，少算的14条里面有几个2条，就是几只蜘蛛，即14÷2＝7
(只)。从总只数里减7只蜘蛛，就得21－7＝14
(只)是蜻蜓和蝉的和。再假设这14只全是蜻蜓，那么翅膀应是2×14＝28
(对)比实际多28－23＝5
(对)，这是因为蝉是1对翅膀，把它算成2对了，每只蝉多算了1对翅膀多出的这5对翅膀里面有几个1对，就是几只蝉。求出了蝉，蜻蜓可求。
( 140－6×21 )÷( 8－6 )
＝14÷2
＝7 (只) ------ 蜘蛛
21－7＝14 (只)
( 2×14－23 )÷( 2－1 )
＝5÷1
＝5 (只) ------- 蝉
14－5＝9 (只) ------ 蜻蜓
答：蜘蛛7只，蜻蜓9只，蝉5只。

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把全部退都当做鸡腿算出只数与原头数相比较多多少只，然后把多的鸡只数的鸡腿除以2就是兔的只数，总数减去兔的只数就是鸡只数。反之把全部退都当做兔腿算出只数与原头数相比较少多少只，然后把少的兔只数的兔腿乘以2就是鸡的只数，总数减去鸡的只数就是兔只数。...

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把全部退都当做鸡腿算出只数与原头数相比较多多少只，然后把多的鸡只数的鸡腿除以2就是兔的只数，总数减去兔的只数就是鸡只数。反之把全部退都当做兔腿算出只数与原头数相比较少多少只，然后把少的兔只数的兔腿乘以2就是鸡的只数，总数减去鸡的只数就是兔只数。

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你好：
可以用方程和假设解。
一般鸡兔同笼都有总腿数与总只数，一元方程一般设其中的一种动物只数为x，另一种动物只数为（总只数-x）只。这样，用一种动物设的只数乘以腿数，加上另一种动物的只数乘以腿数，就等于一共的腿数。比如：
共100条腿，40只动物，其中有鸡和兔
设x只鸡，（40-x）只兔。
2x+4（40-x）=100
2x+160...

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你好：
可以用方程和假设解。
一般鸡兔同笼都有总腿数与总只数，一元方程一般设其中的一种动物只数为x，另一种动物只数为（总只数-x）只。这样，用一种动物设的只数乘以腿数，加上另一种动物的只数乘以腿数，就等于一共的腿数。比如：
共100条腿，40只动物，其中有鸡和兔
设x只鸡，（40-x）只兔。
2x+4（40-x）=100
2x+160-4x=100
2x+160=100+4x
2x+60=4x
60=2x
x=30
40-x=40-30=10
所以共30只鸡，10只兔。
要注意2x+160-4x时要移项，将160或者4x移到右边去。
假设法：
思路：假设全部都是兔，说这个例子，就共有4*40=160条腿，可是比实际多了60条腿，就是因为将一些鸡计算成了兔子的腿数。而兔子比鸡每只多2条腿。一共多60条腿，每只多2条腿，所以一共有60/2=30只鸡，40-30=10只鸡。算式为：
鸡：（40*4-100）/（4-2）=60/2=30（只）
兔：40-30=10（只）
注意：“鸡”和“兔”的腿数可以变换，比如变成三轮车和汽车，但是只需要将数量照对上算式的数替换一下，就可以算出得数了。
你应该是一个小学或者初中生，只教你一元方程和假设法吧，读读《孙子算经》的译文版，就全明白了。
祝你数学学习进步！

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haha
鸡兔同笼是我国古代著名趣题之一。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？ 假设法： 假设全是鸡：2×35＝70(只) 比总脚数少的：94－70＝24 (只) ...

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haha
鸡兔同笼是我国古代著名趣题之一。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？ 假设法： 假设全是鸡：2×35＝70(只) 比总脚数少的：94－70＝24 (只) 它们腿的差：4—2=2（条） 兔：24÷2＝12 (只) 鸡：35－12＝23(只) 方程： 设兔有x只，则鸡有35-x只。 4x+2(35-x)=94 4x+70-2x=94 2x=24 x=24÷2 x=12 35-x=35-12=23 答：兔有12只，鸡有23只。 我国古代《孙子算经》共三卷，成书大约在公元5世纪。这本书浅显易懂，有许多有趣的算术题，比如“鸡兔同笼”问题： 今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？ 题目中给出了鸡兔共有35只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚，那么，兔子就成了2只脚，即把兔子都先当作两只脚的鸡。鸡兔总的脚数是35×2=70（只），比题中所说的94只要少94-70=24（只）。 现在，我们松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加2只，即70+2=72（只），再松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数又增加2，2，2，2……，一直继续下去，直至增加24，因此兔子数：24÷2=12（只），从而鸡有35-12=23（只）。 我们来总结一下这道题的解题思路：如果先假设它们全是鸡，于是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差2只脚就说明有1只兔，将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔。概括起来，解鸡兔同笼题的基本关系式是：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡脚数）。类似地，也可以假设全是兔子。 我们也可以采用列方程的办法：设兔子的数量为X，鸡的数量为Y 那么：X+Y=35那么4X+2Y=94 这个算方程解出后得出：兔子有12只，鸡有23只。

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