大学数学题（急）F（x)的2阶导数存在.F（0）=F（1）证明在（0,1）存在a使得2倍的F（a)的一阶导数等于（1-a)*F（a)的2阶导数

大学数学题（急）F（x)的2阶导数存在.F（0）=F（1）证明在（0,1）存在a使得2倍的F（a)的一阶导数等于（1-a)*F（a)的2阶导数
大学数学题（急）
F（x)的2阶导数存在.
F（0）=F（1）
证明在（0,1）存在a使得2倍的F（a)的一阶导数等于（1-a)*F（a)的2阶导数

大学数学题（急）F（x)的2阶导数存在.F（0）=F（1）证明在（0,1）存在a使得2倍的F（a)的一阶导数等于（1-a)*F（a)的2阶导数
F''(x)
F(0）=F(1）
2F'(a)=(1-a)F''(a) (0,1)
∵F(0）=F(1）
根据罗尔中值定理,在(0,1)之间至少存在一点ξ,使得F'(ξ)=0.
令：G(x)=(1-x)F'(x),则G'(x)=(1-x)F''(x)-F'(x)
∵G(1)=F'(1)(1-1)=0；G(ξ)=F'(ξ)(1-ξ)=0,
∴由罗尔中值定理可知,在(ξ,1)之间至少存在一点a,使得G'(a)=0.
即：G'(a)=(1-a)F''(a)-F'(a)=0,
亦即：F'(a)=(1-a)F''(a).

一楼的G'(1)=0缺少依据:只能是G'(1)=-F(x).而且G(0)=F(0),则G(0)=G(1)=0也没有根据.
由F（0）=F（1）,根据罗尔定义,有:存在ξ∈（0，1）,使得F'(ξ)=0.
令G(x)=F'(x)·(1-x)，则G'(x)=F''(x)(1-x)-F'(x).
∵G(1)=F'（1）·0=0;G(ξ)=F'(ξ)·(1-ξ)=0,
∴根...

全部展开

一楼的G'(1)=0缺少依据:只能是G'(1)=-F(x).而且G(0)=F(0),则G(0)=G(1)=0也没有根据.
由F（0）=F（1）,根据罗尔定义,有:存在ξ∈（0，1）,使得F'(ξ)=0.
令G(x)=F'(x)·(1-x)，则G'(x)=F''(x)(1-x)-F'(x).
∵G(1)=F'（1）·0=0;G(ξ)=F'(ξ)·(1-ξ)=0,
∴根据罗尔定义,有:存在 a∈(ξ，1）,使得G'(a)=0.
即F''(a)(1-a)-F'(a)=0.
则F'(a)=（1-a)*F''(a).
题目有错吧?或少条件?
只能F'(a)=（1-a)*F''(a).;不是2F'(a)=（1-a)*F''(a).

收起

我觉得少个条件，应该是F(0)=F(1)=0
否则不能得出这个结论
楼主看看是不是少打了？

我觉得少个条件，应该是F(0)=F(1)=0
否则不能得出这个结论
楼主看看是不是少打了？

证明：G(x)=F(x)(1-x)，G'(x)=F'(x)(1-x)-F(x)，G''(x)=F''(x)(1-x)-2F'(x)
G(0)=G(1)=0，一定存在0又有G'(1)=0，又由Rolle定理，必定存在0

∠B的平分线BE与AD垂直 => AB=BD => BC=2AB
过D作CF平行于AC交BE于F，设AD和BE交于G
BF=FE=2
AE:EC=AB*BE:BE*BC=1:2
DF=1/2EC=AE => AGE全等于DGF => GE=GF=1
所以AB=根号(2^2+3^2)=根号13
BC=2AB=2根号13
AE=根号(2^2+1^2)=根号5
AC=3AE=3根号5

证明：令G(x)=F(x)(1-x)，G'(x)=F'(x)(1-x)-F(x)，G''(x)=F''(x)(1-x)-2F'(x)
G(0)=G(1)=0，由Rolle定理，一定存在0又有G'(1)=0，又由Rolle定理，必定存在0

不缺条件，把一楼的构造函数G(x)改造一下，使得G(0)=G(1)就成。
证明：记F(0)=F(1)=p，构造函数G(x)=(1-x)[F(x)-p]
则G'(x)=(1-x)F'(x)-F(x)+ p
及G"(x)=F"(x)(1-x)-2F'(x)
易见G(0)=G(1)=0，由Rolle定理，一定存在0又有G'(1)=0...

全部展开

不缺条件，把一楼的构造函数G(x)改造一下，使得G(0)=G(1)就成。
证明：记F(0)=F(1)=p，构造函数G(x)=(1-x)[F(x)-p]
则G'(x)=(1-x)F'(x)-F(x)+ p
及G"(x)=F"(x)(1-x)-2F'(x)
易见G(0)=G(1)=0，由Rolle定理，一定存在0又有G'(1)=0，又由Rolle定理，必定存在0

收起

看图片