作业帮射影定理证明
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 22:39:43
射影定理证明
射影定理证明
射影定理证明
直角三角形,作斜边的高,出现三个直角三角形,证这三个相似,根据对应边成比例,再化成乘积的形式,即可得出射影定理
题呢
直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，
则有射影定理如下： （1）（AD）^2=BD·DC， （2）（AB）^2=BD·BC ， （3）（AC）^2=CD·BC 。
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直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，
则有射影定理如下： （1）（AD）^2=BD·DC， （2）（AB）^2=BD·BC ， （3）（AC）^2=CD·BC 。
证明：在 △BAD与△ACD中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC，又∵∠BDA=∠ADC=90°，∴△BAD∽△ACD相似，∴ AD/BD＝CD/AD，即（AD）^2=BD·DC。
其余类似可证。
注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。
由公式（2）+（3）得： （AB）^2+（AC）^2=BD·BC+CD·BC =（BD+CD)·BC=（BC）^2，
即 （AB）^2+（AC）^2=（BC）^2。
参考资料： http://wenwen.soso.com/z/q140796610.htm
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射影：就是正投影，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影。定理的内容是直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：
1BD²...
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射影：就是正投影，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影。定理的内容是直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：
1BD²=AD·DC
2CD²=AD·BD
3BC²=CD·AC
这主要是由相似三角形来推出的，例如（BD）^2=AD·DC：
由图可得 △BAD与△BCD相似，
所以 AD/BD＝BD/CD，
所以（BD）^2=AD·DC
由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式2+3得
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