作业帮已知BC是⊙O的弦,A是弧BC的中点,E是BC延长线上一点,AE交⊙O于D点,求证：CD²：CE²=AD：AE图自己画吧!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 12:08:16
已知BC是⊙O的弦,A是弧BC的中点,E是BC延长线上一点,AE交⊙O于D点,求证：CD²：CE²=AD：AE图自己画吧!
已知BC是⊙O的弦,A是弧BC的中点,E是BC延长线上一点,AE交⊙O于D点,求证：CD²：CE²=AD：AE
图自己画吧!
已知BC是⊙O的弦,A是弧BC的中点,E是BC延长线上一点,AE交⊙O于D点,求证：CD²：CE²=AD：AE图自己画吧!
证明：
连接AB、AC,过点C作CH⊥AE于H
∵∠ACB＝∠CAE＋∠E,∠CDE＝∠CAE＋∠ACD
又弧AB＝弧AC
∴∠ACB＝∠B
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠B＋∠ADC＝180°
又∠CDE＋∠ADC＝180°
∴∠B＝∠CDE
∴∠ACB＝∠CDE
即∠CAE＋∠E＝∠CAE＋∠ACD
∴∠ACD＝∠E
又∠CAD＝∠CAE
∴△ACD∽△AEC
∴S△ACD∶S△AEC＝CD²∶CE²
又S△ACD＝1/2•AD•CH,S△AEC＝1/2•AE•CH
∴S△ACD∶S△AEC＝AD∶AE
∴CD²∶CE²＝AD∶AE
证明：连AB,AC,BD.由于A是弧BC的中点及A,B,C,D四点共圆 ∴∠ABC=∠ACB=∠ADB=∠EDC ∴⊿ABE∽⊿CDE, ⊿ABD∽⊿ABE CD/AB=CE/AE, AB/AE=AD/AB ∴CD/CE=AB/AE ∴(CD/CE)^2=(AB/AE)^2=AB^2/AE^2=AE*AD/AE^2=AD/AE 所以CD²：CE²=AD：AE
楼上证明皆过于繁琐
核心证△ACD∽△AEC方法为母子相似，有一个公用∠CAD，还有另一个角按四点共圆对角互补即证，接着把AD/AE写成AD/AC×AC/AE（相当于乘了一个AC又除了AC）而AD/AC和AC/AE两项很据相似对应边的比都是CD/CE
证毕
图可参照一楼图
简述一下 由△ADC与△ACE相似能得到：CD²∶CE²=AC²∶AE² 由△ABD与△AEB相似能得到：AB²=AD*AE 所以CD²∶CE²=AC²∶AE²=AB²∶AE²=AD*AE∶AE²=AD∶AE
∠B=∠CDE，∠E=∠E，所以，三角形DCE∽三角形BAE， CD/CE=AB/AE
CD²/CE²=AB²/AE²
AM延长BC与M,.交圆与Q，因为A是弧BC的中点，所以AM一定过圆心，并垂直垂直平分BC ，AB²=AM*AQ
连接QD，则∠QDA为直角，所以，Q,M,D,E四点共圆，AM*AQ=AD*AE
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∠B=∠CDE，∠E=∠E，所以，三角形DCE∽三角形BAE， CD/CE=AB/AE
CD²/CE²=AB²/AE²
AM延长BC与M,.交圆与Q，因为A是弧BC的中点，所以AM一定过圆心，并垂直垂直平分BC ，AB²=AM*AQ
连接QD，则∠QDA为直角，所以，Q,M,D,E四点共圆，AM*AQ=AD*AE
所以CD²/CE²=AM*AQ/AE²=AD*AE/AE²=AD/AE
收起
根据垂径定理
∵BC为直径
BC⊥AE
∴弧AB=弧BE
弧AE=2弧AB
弧BF=2弧AB
弧AE=弧BF
弧AE-弧BE=弧BF-弧BE
弧AB=弧EF
连接BE
同弧所对圆周角相等
∠AEB=∠FBE
GB=GE
7月e1