二重积分在极坐标中更换积分次序时碰到的三角函数或反三角函数的值域或定义域问题一个例题：D:-π/2≤θ≤π/2;0≤ρ≤acosθ上面是先对ρ积分,后对θ积分更换积分次序后先对θ积分,后对ρ积

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/05 18:58:58

二重积分在极坐标中更换积分次序时碰到的三角函数或反三角函数的值域或定义域问题一个例题：D:-π/2≤θ≤π/2;0≤ρ≤acosθ上面是先对ρ积分,后对θ积分更换积分次序后先对θ积分,后对ρ积
二重积分在极坐标中更换积分次序时碰到的三角函数或反三角函数的值域或定义域问题
一个例题：
D:-π/2≤θ≤π/2;0≤ρ≤acosθ
上面是先对ρ积分,后对θ积分
更换积分次序后先对θ积分,后对ρ积分
变为D：0≤ρ≤a;-arccos(ρ/a)≤θ≤arccos(ρ/a)
我要问的是
由acosθ=ρ得到θ=arccos(ρ/a),
那么用ρ表示θ的积分限时
-arccos(ρ/a)是怎么得到的?

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确定积分限的方法：
1.若先对ρ积分,后对θ积分,则将θ看成某个常数,然后观察ρ的变化范围.从你所给的条件看,积分域是一个由ρ=acosθ围成的圆形区域,a是圆的直径.当θ固定时,ρ的变化范围是0≤ρ≤acosθ,然后θ的范围是:-π/2≤θ≤π/2.
2.若更换积分次序,即先对θ积分,后对ρ积分,则要将ρ看成一个常数来考察θ的可能范围.显然当ρ固定后,即以坐标原点为圆心,ρ为半径画一个圆.此圆会与积分域的圆形边界有两个交点.这两个交点的角度就是θ的上下限.下面一个交点的角度是-arccos(ρ/a),而上面一个焦点的角度是arccos(ρ/a),所以θ的积分限是：-arccos(ρ/a)≤θ≤arccos(ρ/a)

事实上吧，做这种题首先要做的就是把图画出来。一个坐标轴是θ，一个坐标轴是ρ，你只要根据D:-π/2≤θ≤π/2;0≤ρ≤acosθ把图画出来，自然而然就知道怎么变成D：0≤ρ≤a;-arccos(ρ/a)≤θ≤arccos(ρ/a)了。

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