初中几何定理如何证明三角形的三条高相交与一点

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 13:01:38
初中几何定理如何证明三角形的三条高相交与一点

初中几何定理如何证明三角形的三条高相交与一点
初中几何定理
如何证明三角形的三条高相交与一点

初中几何定理如何证明三角形的三条高相交与一点
我用向量来证
在三角形ABC中,过C作CD垂直AB交AB于D,过B作BE垂直AC交AC于E,交CD于P
现要证AP垂直BC
现已知
向量CP·向量AB=0 且
向量BP·向量AC=0
那么向量AP·向量BC=(向量AB+向量BP)·(向量CA·向量AB)
=向量AB·向量CA+向量AB平方+向量BP·向量CA+向量BP·向量AB
=向量AB·(向量BP+向量CA+向量AB)+向量BP·向量CA
=向量AB·向量CP+向量BP·向量CA
=0+0=0
即是向量AP·向量BC=0即是AP垂直于BC
所以三角形三条高交于同一点
证明完毕

思路是这样的：想让两条边上的高交于一点，然后证明第三条边上的高过那一点即可
我现在证明喽！！
设此三角形为ABC，先作3条高,AB上高1和BC上高2的交点为D,作ED垂直于AC,连接DB
可以用相似三角形的角证明ED和DB在一条直线上.即证

设三角形为ABC,将AB边设在X轴上,将C点设在Y轴上,这样,三角形的三个顶点座标可以分别设为(a,0)、(b,0)和(0,c)；然后只要证明AC边上的高与BC边上的高的交点在Y轴上即可。

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