用向量知识解答求证：直径上的圆周角为直角

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 00:12:03

用向量知识解答求证：直径上的圆周角为直角
用向量知识解答
求证：直径上的圆周角为直角

用向量知识解答求证：直径上的圆周角为直角
设圆心为原点直径短点为A（-a,0）和B（a,0）
设圆上一点p（x,y）则x平方+y平方=a平方
则向量AP(x-a,y）向量BP(x+a,y）
向量AP乘向量BP=x平方-a平方+y平方=0
所以AP垂直于BP
所以直径上的圆周角为直角

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已知：线段AB是圆O上一条直径，点C是圆周上异于A.B的一点，求证：∠ACB=90°
证明：设圆O半径是r，并以圆心O为原点，线段AB所在直线为x轴(点A在x轴负半轴，点B在正半轴)，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系
则易知点A坐标(-r,0)，点B坐标(r,0)
圆O的方程是x²+y²＝r²
设圆O上点C坐标为(rcosθ,rsinθ)
则向量CA=(rcosθ+r,rsinθ)
向量CB=(rcosθ-r,rsinθ)
所以向量的数量积：
CA*CB=(rcosθ+r)*(rcosθ-r)+rsinθ*rsinθ
＝r²cos²θ－r²+r²sin²θ
＝r²(cos²θ+sin²θ)-r²
=r²-r²=0
则向量CA⊥向量CB
即向量CA与向量CB的夹角∠ACB=90°
所以命题得证。

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