作业帮同志们啊!帮个忙啊!初二数学题啊!救救我啊!用反证法证明：√2是一个无理数.没
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 10:43:33
同志们啊!帮个忙啊!初二数学题啊!救救我啊!用反证法证明：√2是一个无理数.没
同志们啊!帮个忙啊!初二数学题啊!救救我啊!
用反证法证明：√2是一个无理数.
没
同志们啊!帮个忙啊!初二数学题啊!救救我啊!用反证法证明：√2是一个无理数.没
一下用a表示√2
设a为有理数,
则a=p/q,p,q互质
a^2=p^2/q^2=2
p^2=2q^2
则p为2的倍数,
那么设p=2r,r为整数
4r^2=2q^2
2r^2=q^2
则q为偶数,
那么p,q有公约数2
矛盾
故√2是一个无理数.
有米有条件啊。
假设：√2是一个有理数
1^2<(√2)^2<2^2
所以
1<√2<2,√2不是整数
设√2=n/m,(m,n是互质的正整数)
两边平方得
2=n^2/m^2
2m^2=n^2
n^2是偶数,则n也是偶数,不妨设n=2k
2m^2=(2k)^2=4k^2
m^2=2k^2
m^2是偶数,则m也是偶数
...
全部展开
假设：√2是一个有理数
1^2<(√2)^2<2^2
所以
1<√2<2,√2不是整数
设√2=n/m,(m,n是互质的正整数)
两边平方得
2=n^2/m^2
2m^2=n^2
n^2是偶数,则n也是偶数,不妨设n=2k
2m^2=(2k)^2=4k^2
m^2=2k^2
m^2是偶数,则m也是偶数
m,n同为偶数,这与m,n是互质的正整数矛盾
所以开始的假设是错误的
命题得证
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假设√2是有理数
则要么它是整数，要么是分数
而没有一个整数的平方等于2
如果是分数，可以设其为p/q
其中p和q都是正整数
这里p/q是最简分数，即p和q互素
则(p/q)^2=p^2/q^2=2
由于p和q互素，所以p^2和q^2也互素，所以
由p^2/q^2=2可以得出
p^2=2
q^2=1
则q=1<...
全部展开
假设√2是有理数
则要么它是整数，要么是分数
而没有一个整数的平方等于2
如果是分数，可以设其为p/q
其中p和q都是正整数
这里p/q是最简分数，即p和q互素
则(p/q)^2=p^2/q^2=2
由于p和q互素，所以p^2和q^2也互素，所以
由p^2/q^2=2可以得出
p^2=2
q^2=1
则q=1
但是p^2=2，而没有一个整数的平方等于2，
所以p不是整数
假设推出矛盾，故假设不成立
所以：√2是一个无理数
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