作业帮关于泛函分析（functional analysis）的一道证明题,in a finite dimensional normed vector space,every closed and bounded subset is compact.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 18:40:47
关于泛函分析（functional analysis）的一道证明题,in a finite dimensional normed vector space,every closed and bounded subset is compact.
关于泛函分析（functional analysis）的一道证明题,
in a finite dimensional normed vector space,every closed and bounded subset is compact.
关于泛函分析（functional analysis）的一道证明题,in a finite dimensional normed vector space,every closed and bounded subset is compact.
有限维空间的有界闭集是紧集……这个还是充分必要条件.泛函的题都不太好写,下面只写思路.
设M是该集合的一个开覆盖,假设没有有限子覆盖,因为集合有界,则能被一个方体盖住,将方体按照小方格剖分,至少有一个没有有限子覆盖,再剖分（变长变小）这个小方体,有至少有一个没有……以此类推,得到一列数列,因为原来是闭的集合,所以它形成的子空间是完备的,所以这些小方体中间有一个公共点,刚才得到的数列也收敛到这里.然后这个点根据构造是没有有限子覆盖的,然而这与M是开覆盖矛盾.
有限维空间的东西和Rn是几乎一样的,所以Rn的方法基本上都可以搬到这里来.
如果你知道对称化,那么有界闭集可以对称到一个有界闭凸集上（从而与一个子空间中的单位球同胚）,而又Riesz定理,有限维空间中的单位球是紧的,从而原来的集合也是紧的.
希望你泛函分析学的顺利!
楼下说的几个定理不是你想要的那个,楼下说的定理是 度量空间中的紧集与完全有界集是等价的.完全有界使用 e（epsim好像这么写,是在打不出来）)网 衡量的,而这个epsim网子一定程度上就是覆盖,但是不需要闭性质,也不需要维数有限性.
Heine–Borel theorem
是要证明该泛函的闭线性子空间是连续的啊，书上应该有这道题的，翻书去吧
http://en.wikipedia.org/wiki/Heine%E2%80%93Borel_theorem
有限维赋范线性空间，可以用归纳法，首先一维的时候是显然的，然后归纳一下就可以了。证明过程不是很复杂，推广的结果可以看Rudin的泛函分析
翻译么？？？？？？？？？？？？？？