作业帮微分方程考虑下面的微分方程，其中x>0:回答以下问题：1、令v=x^r是下面微分方程的解，求r的值2、对于第一问中所求得的r值，令y=(x^r)*u。推导关于u的微分方程，并证明u=x^4是刚推导的微分方
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 01:09:28
微分方程考虑下面的微分方程，其中x>0:回答以下问题：1、令v=x^r是下面微分方程的解，求r的值2、对于第一问中所求得的r值，令y=(x^r)*u。推导关于u的微分方程，并证明u=x^4是刚推导的微分方
微分方程
考虑下面的微分方程，其中x>0:
回答以下问题：
1、令v=x^r是下面微分方程的解，求r的值
2、对于第一问中所求得的r值，令y=(x^r)*u。推导关于u的微分方程，并证明u=x^4是刚推导的微分方程的解。
3、求满足第2问得到的微分方程的du/dx的一般表达式。
4、求解通解y
说说思路也行。
微分方程考虑下面的微分方程，其中x>0:回答以下问题：1、令v=x^r是下面微分方程的解，求r的值2、对于第一问中所求得的r值，令y=(x^r)*u。推导关于u的微分方程，并证明u=x^4是刚推导的微分方
说白了就是猜解的形式,代入再求参数
v=x^r
v'=rx^(r-1)
v''=r(r-1)x^(r-2)
原方程变为
r(r-1)x^(r-1)+(x+4)rx^(r-1)+3x^r=0
(r+3)x^r+[r(r-1)+4r]x^(r-1)=0
即
(r+3)x+[r(r-1)+4r]=0
对于任意x都成立,只可能
r+3=0
r(r-1)+4r=0
所以
r=-3同时满足上述方程
v=x^(-3)
积分因子A=exp(积分1-2/x dx)=exp(x-2lnx)=exp(x)*x^(-2)
两边同乘A
(Az)'=4(1+x)exp(x)
两边积分
Az=4xexp(x)+C
z=4x^3+C1x^2*e^x
u=积分 z dx =x^4+A (x^2-2x+2)e^x+B
y=u*x^(-3)=x+A(x^(-1)-2x^(-2)+2x^(-3))e^x+Bx^(-3)