设f(x)有连续二阶导数,且f(x)/x在x=0处的极限是0,f''(0)【f(x)在0处的二阶导数值】=4,转下面求(1+f(x)/x)^(1/x)在x=0处的极限?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/04 18:27:40
设f(x)有连续二阶导数,且f(x)/x在x=0处的极限是0,f''(0)【f(x)在0处的二阶导数值】=4,转下面求(1+f(x)/x)^(1/x)在x=0处的极限?

设f(x)有连续二阶导数,且f(x)/x在x=0处的极限是0,f''(0)【f(x)在0处的二阶导数值】=4,转下面求(1+f(x)/x)^(1/x)在x=0处的极限?
设f(x)有连续二阶导数,且f(x)/x在x=0处的极限是0,f''(0)【f(x)在0处的二阶导数值】=4,转下面
求(1+f(x)/x)^(1/x)在x=0处的极限?

设f(x)有连续二阶导数,且f(x)/x在x=0处的极限是0,f''(0)【f(x)在0处的二阶导数值】=4,转下面求(1+f(x)/x)^(1/x)在x=0处的极限?
先取自然对数得
lim(x→0) ln(1+f(x)/x)^(1/x)
=lim(x→0) ln(1+f(x)/x)/x (等价无穷小代换)
=lim(x→0) f(x)/x^2
=lim(x→0) f'(x)/(2x)
=lim(x→0) f''(x)/2
=2

lim(x→0) (1+f(x)/x)^(1/x)
=lim(x→0) e^ln(1+f(x)/x)^(1/x)
=e^2

简单的方法,很容易可以看出f(x)=2x^2满足题意。然后代入就是(1+2x)^(1/x)={(1+2x)^[1/(2x)]}^2=e^2
正式的做法:
原极限=e^ln[(1+f(x)/x)^(1/x)]
ln[(1+f(x)/x)^(1/x)]=ln[1+f(x)/x]/x
在x趋向0时,是0/0.运用罗比达法则
ln[1+f(x)/x]/x=1/[1+...

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简单的方法,很容易可以看出f(x)=2x^2满足题意。然后代入就是(1+2x)^(1/x)={(1+2x)^[1/(2x)]}^2=e^2
正式的做法:
原极限=e^ln[(1+f(x)/x)^(1/x)]
ln[(1+f(x)/x)^(1/x)]=ln[1+f(x)/x]/x
在x趋向0时,是0/0.运用罗比达法则
ln[1+f(x)/x]/x=1/[1+f(x)/x]*[f(x)/x]'/1=[f(x)/x]'【注:1/[1+f(x)/x]=1/(1+0)=1】
=[xf'(x)-f(x)]/x^2【还是0/0,在x趋向0时,f(x)/x=0,f(x)是比x高阶的无穷小。分子就是0-0,分母0。再次运用罗比达法则】
=[xf''(x)+f'(x)-f'(x)]/(2x)=xf''(x)/(2x)=f''(x)/2=2
故e^ln[(1+f(x)/x)^(1/x)]=e^2

收起

用泰勒公式展开也可以

设函数F(X)具有二阶连续导数,且满足F(X)=[微分(上限X下限0)F(1-t)dt]+1,求F(X) 设f(x)在[0,1]上具有二阶连续导数,且|f''(x)| 设函数f(x)具有二阶连续导数,且f(x)不等于0.由lagrange公式有证明: 有关高数的证明题设函数 f(x)在[0,∞)上有二阶连续导数,且对任意x>=0有 f(x)的二阶导数>=k,其中k>0为一常数,f(0) 设f(x)有连续导数,且f(0)=0,f'(0)≠0,设f(x)有连续导数,且f(0)=0,f'(0)≠0,F(x)=∫[0,x](x^2-t^2)f(t)dt,当x→0时,F’(x)与x^k是同阶无穷小,则k=? 设f(x)有连续二阶导数,且f(x)/x在x=0处的极限是0,f''(0)【f(x)在0处的二阶导数值】=4,转下面求(1+f(x)/x)^(1/x)在x=0处的极限? 设f(x)有连续导数且……证明 设f(x),g(x)具有二阶导数,且g(x) 设函数z=y^2+f(x,x/y),其中f具有二阶连续偏导数 设z=f(y,y/x) 且f(x,y)具有二阶连续的偏导数,求 设f(x)有连续的二阶导数,且f(0)=0,f'(0)=1,f'''(0)=-2,则lim(f(x)-x)/x^2=?如何解答,请给个详细解答过程?x趋于0时,则lim(f(x)-x)/x^2= 设f(x)在负无穷到正无穷有连续的二阶导数,且f(0)=0,设g(x)=f(x)/x,x不等于0;g(x)=a,x=0确定a的值,使g(x)在负无穷到正无穷内是连续的 1.设函数f(x)具有连续的二阶导数,且f‘(0)=0,limf''(x)/|x|=1,则f(0)是f(x)的极小值,这是为什么 f(x)在点x=0处具有连续的二阶导数,证明f证明f(x)的二阶导数有界 设z=f(xy,x+y),且f有连续的二阶偏导数,求a^2z/axay 设f(x)有连续导数,且f(0)=0,f'(0)≠0,F(x)=∫[0,x](x^2-t^2)f(t)dt,当x→0时,F’(x) 设z=f(x-y,x+y),其中f具有二阶连续偏导数 设z=f(x+y,xy)且f具有二阶连续偏导数,求Zxx及Zxy