请概率方面的达人多多指点,利用概率论的思想方法证明如下不等式,其中a大于零.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 08:23:32

请概率方面的达人多多指点,利用概率论的思想方法证明如下不等式,其中a大于零.
请概率方面的达人多多指点,利用概率论的思想方法证明如下不等式,其中a大于零.

请概率方面的达人多多指点,利用概率论的思想方法证明如下不等式,其中a大于零.
为方便,首先只讨论积分:在区间[-a,a]积分e^((-x^2)/2)dx 记其值为V.
为以下讨论方便,正方形区域: -a<=x<=a,  -a<=y <=a  记为D,
其外接圆区域: x^2 +y^2 <=2a^2 记为G.
则V^2 = {在区间[-a,a]积分e^((-x^2)/2)dx }^2
         ={在区间[-a,a]积分e^((-x^2)/2)dx }*{在区间[-a,a]积分e^((-y^2)/2)dy}
        =在D上,e^[- (x^2+y^2)/2]dxdy  二重积分
    =在G上,e^[- (x^2+y^2)/2]dxdy  二重积分
     <在G上,e^[- (r^2)/2]rdsdr  极坐标系下的二重积分  (s 表示极角,r表示极径)
        =在区间[0,  2pi]积分{在区间[0,  a*根号2]积分e^[- (r^2)/2]rdr  }
       = 2pi*{在区间[0,  a*根号2]积分e^[- (r^2)/2]rdr
        = 2pi*{函数- e^[(-r^2)/2]  在r= a*根号2处的值 - 在r=0处的值}
       =2pi*{- e^(-a^2)+1}=
        =2pi*{1- e^(-a^2)}
即V^2< 2pi*{1- e^(-a^2)}
由于V>0,
故得:V<根号{ 2pi*{1- e^(-a^2)} }
从而,原式左端= (1/(根号(2pi))*V <(1/(根号(2pi))*根号{ 2pi*{1- e^(-a^2)} }=根号{1- e^(-a^2)} }
即:原式左端 <根号{1- e^(-a^2)} }
命题得到证明.