作业帮x+y+z=12的非负整数解有多少个,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 19:02:42
x+y+z=12的非负整数解有多少个,
x+y+z=12的非负整数解有多少个,
x+y+z=12的非负整数解有多少个,
当x,y,z都不为0时,可看成将12个球的11个空中插入两个挡板,有11*10/2=55个答案
当x,y,z有一个为0时,可看成将12个球的11个空中插入一个挡板,有11*3=33个答案
当x,y,z有两个为0时,有3个答案
所以一共有55+33+3=91个答案
【题目：】
x+y+z=12的非负整数解有多少个，求过程
【】
本题可以根据排列组合的插板法，通过基本变形即得答案。
将原题变形为：(x+1)+(y+1)+(z+1) = 15
设X =(x+1)、Y=(y+1)、Z=(z+1)
则原题“x+y+z=12的非负整数解有多少个”即为求：X+Y+Z=15 的正整数解有多少个。
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【题目：】
x+y+z=12的非负整数解有多少个，求过程
【】
本题可以根据排列组合的插板法，通过基本变形即得答案。
将原题变形为：(x+1)+(y+1)+(z+1) = 15
设X =(x+1)、Y=(y+1)、Z=(z+1)
则原题“x+y+z=12的非负整数解有多少个”即为求：X+Y+Z=15 的正整数解有多少个。
用插板法易得共有：
C(15-1，3-1) =C(14,2)=14*13/2=91 组非负整数解。
解答完毕。
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【解题思路与插板法详细说明附在后面，请参阅】
解题思路：
本题求非负整数解，即允许有些组中分到的元素为“0”，也就是组中可以为空的。
对于这种情形，在插板法的基础上，首先将每组都填上1个，这样所要元素总数就增加3个，问题也就是转变成将（12+3）个元素分到3组，并且每组至少分到一个的问题，也就可以直接用插板法来解决：
求x+y+z=12的非负整数解有多少组，即相当于在15个元素的14个间隙中放置2块隔板把它隔成3份,共有C(15-1，3-1)种不同方法。
易得共有C(12+3-1,3-1)=C(14,2)=14*13/2=91组非负整数解。
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【附注：插板法基本题型】
有n个相同的元素，要求分到m组中，并且要求每组中至少有一个元素问有多少种分法？
【基本解题思路】
将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、….），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。
【基本题型总结】
对于这种要求每组元素至少要分到一个的情况，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有C（n-1，m-1）种不同方法。
【注意！】
这种插板法解决相同元素分到不同组的问题非常简单，但同时这类问题模型适用前提相当严格，必须同时满足以下3个条件：
（1）所有要分的元素须完全相同；
（2）所要分的元素必须分完，决不允许有剩余；
（3）参与分元素的每组至少分到1个，决不允许出现分不到元素的组。
收起