作业帮知P的三次方加Q的三次方等于2 求证P+Q
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 17:38:53
知P的三次方加Q的三次方等于2 求证P+Q
知P的三次方加Q的三次方等于2 求证P+Q
知P的三次方加Q的三次方等于2 求证P+Q
应该加上限制条件：P、Q都是正数.
假设P＋Q＞2.
由P^3＋Q^3＝2,得：（P＋Q）（P^2－PQ＋Q^2）＝2,
∵P＋Q＞2,∴P^2－PQ＋Q^2＜1,
∴1＋PQ＞P^2＋Q^2≥2PQ,∴PQ＜1.
另一方面,由P^2－PQ＋Q^2＜1,得：（P＋Q）^2－3PQ＜1,∴1＋3PQ＞（P＋Q）^2,
∵P＋Q＞2,∴1＋3PQ＞4,∴3PQ＞3,∴PQ＞1.
在同一假设的情况下,得出PQ＜1,和PQ＞1的矛盾结果,说明这种假设是错误的.
∴只能是P＋Q≤2.
解题思路：在直接证明某个结论有困难时,假设这个结论的反面是正确的,然后通过这样的假设来进一步证明这个假设下推理出来的结论是错误的［出现矛盾的结果,或推出的结果与已知的原理、定理有矛盾］,从而推翻这种假设.这个假设被推翻了,那么这个假设的反面,即原来要证明的结论就是正确的了.
【反证法证明】
证明：
假设P＋Q＞2，则(P＋Q)³＞8
即P³＋Q³＋3P²Q＋3PQ²＞8
又P³＋Q³＝2
∴3P²Q＋3PQ²＞6
=>3PQ(P＋Q)＞6
=>PQ(P＋Q)＞2＝P³＋Q³
又P＋Q＞0
...
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【反证法证明】
证明：
假设P＋Q＞2，则(P＋Q)³＞8
即P³＋Q³＋3P²Q＋3PQ²＞8
又P³＋Q³＝2
∴3P²Q＋3PQ²＞6
=>3PQ(P＋Q)＞6
=>PQ(P＋Q)＞2＝P³＋Q³
又P＋Q＞0
∴PQ＞(P³＋Q³)/(P＋Q)＝P²－PQ＋Q²
=>P²－2PQ＋Q²＜0
=>(P－Q)²＜0
这与(P－Q)²≥0相矛盾，
故假设不成立
∴P＋Q≤2
【思路】
有些不等式证明题无法利用已知条件直接证明，
这时候，我们可以采取间接的方法------反证法去证明．
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知P的三次方加Q的三次方等于2 求证P+Q<=2
pq的符号？
p^3+q^3=2
若p+q>2
(p+q)(p^2-pq+q^2)=2
正难则反，这是反证法应用的基本思想。
若P+Q>2,则P>2-Q，两边同时取三次方，则有P(3)>8-12Q+6Q(2)-Q(3),括号里的数字表示几次方，然后把P（3）+Q（3）=2代入进去，可以得到Q（2）-2Q+1<0，这是不可能的，所以得证。
思路：
从正面证明，已知条件太少，无从下手，所以就反证了~...
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正难则反，这是反证法应用的基本思想。
若P+Q>2,则P>2-Q，两边同时取三次方，则有P(3)>8-12Q+6Q(2)-Q(3),括号里的数字表示几次方，然后把P（3）+Q（3）=2代入进去，可以得到Q（2）-2Q+1<0，这是不可能的，所以得证。
思路：
从正面证明，已知条件太少，无从下手，所以就反证了~
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飘渺的绿梦,回答的很好，我就不答了。