用数学归纳法证明：sinx+sin2x+sin3x+……+sinnx=[sin(nx/2)sin((n+1)x/2)]/sin(x/2)

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 19:38:19

用数学归纳法证明：sinx+sin2x+sin3x+……+sinnx=[sin(nx/2)sin((n+1)x/2)]/sin(x/2)
用数学归纳法证明：sinx+sin2x+sin3x+……+sinnx=[sin(nx/2)sin((n+1)x/2)]/sin(x/2)

用数学归纳法证明：sinx+sin2x+sin3x+……+sinnx=[sin(nx/2)sin((n+1)x/2)]/sin(x/2)
n=1时公式成立；
现在假设对n-1公式成立
那么sinx+sin2x+sin3x+……+sinnx=sinx+sin2x+sin3x+……+sin(n-1)x+sinnx
=[sin((n-1)x/2)sin(nx/2)]/sin(x/2)+sinnx
=[sin((n-1)x/2)sin(nx/2)+sinnxsin(x/2)]/sin(x/2)
=sin(nx/2)[sin((nx/2-x/2)+2cos(nx/2)sin(x/2)]/sin(x/2) 使用了sinnx=2sinnx/2cosnx/2
=sin(nx/2)[sin(nx/2)cos(x/2)-cos(nx/2)sin(x/2)+2cos(nx/2)sin(x/2)]/sin(x/2) 把sin((nx/2-x/2)展开
=sin(nx/2)[sin(nx/2)cos(x/2)+cos(nx/2)sin(x/2)]/sin(x/2)
=[sin(nx/2)sin((n+1)x/2)]/sin(x/2)
故公式对n也成立.
从而由归纳法,公式对一切正整数n都成立.

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