作业帮跪谢!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 08:07:38
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2.极限不存在,也可以说是+∞.
首先,当n为正整数时2^n > n,故2 > n^(1/n).
因此n > 1时√(n+k)/(n^(1/n)+k)
> √(n+k)/(2+k)
≥ √(2+k)/(2+k)
= 2/(2√(2+k))
> 2/(√(2+k)+√(3+k))
= 2(√(3+k)-√(2+k))
= 2√(3+k)-2√(2+k).
对k = 1,2,...,n求和得√(n+1)/(n^(1/n)+1)+√(n+2)/(n^(1/n)+2)+...+√(n+n)/(n^(1/n)+n)
> (2√4-2√3)+(2√5-2√4)+...+(2√(3+n)-2√(2+n))
= 2√(3+n)-2√3.
而n → ∞时,2√(3+n)-2√3 → +∞,于是
√(n+1)/(n^(1/n)+1)+√(n+2)/(n^(1/n)+2)+...+√(n+n)/(n^(1/n)+n) → +∞.
1.1/(f(x)-f(a))-1/((x-a)f'(a)) = (f(x)-f(a)-(x-a)f'(a))/((f(x)-f(a))(x-a)f'(a))
= (f(x)-f(a)-(x-a)f'(a))/(x-a)²·1/f'(a)·(x-a)/(f(x)-f(a)).
由f(x)在a处可导,lim{x → a} (f(x)-f(a))/(x-a)存在,并等于f'(a).
而f'(a) ≠ 0,故lim{x → a} (x-a)/(f(x)-f(a)) = 1/f'(a).
只需求lim{x → a} (f(x)-f(a)-(x-a)f'(a))/(x-a)².
这里用L'Hospital(洛必达)法则.
由f(x)在a处二阶可导,有lim{x → a} (f'(x)-f'(a))/(x-a)存在,并等于f"(a).
根据L'Hospital法则可知,0/0型极限lim{x → a} (f(x)-f(a)-(x-a)f'(a))/(x-a)²存在,
并等于lim{x → a} (f(x)-f(a)-(x-a)f'(a))'/((x-a)²)'
= lim{x → a} (f'(x)-f'(a))/(2(x-a))
= f"(a)/2.
于是lim{x → a} (1/(f(x)-f(a))-1/((x-a)f'(a)))
= (lim{x → a} (f(x)-f(a)-(x-a)f'(a))/(x-a)²)·1/f'(a)·(lim{x → a} (x-a)/(f(x)-f(a)))
= f"(a)/(2(f'(a))²).