设A是nm阶矩阵,B是mn阶矩阵,如果En-AB是可逆矩阵,（E是单位矩阵）,证明：Em-BA也是可逆矩阵

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/19 20:26:13

设A是n*m阶矩阵,B是m*n阶矩阵,如果En-AB是可逆矩阵,（E是单位矩阵）,证明：Em-BA也是可逆矩阵
设A是n*m阶矩阵,B是m*n阶矩阵,如果En-AB是可逆矩阵,（E是单位矩阵）,证明：Em-BA也是可逆矩阵

设A是n*m阶矩阵,B是m*n阶矩阵,如果En-AB是可逆矩阵,（E是单位矩阵）,证明：Em-BA也是可逆矩阵
证:因为
(E-BA)[E+B(E-AB)^-1A]
= E-BA+B(E-AB)^-1A-BAB(E-AB)^-1A
= E-BA+B(E-AB)(E-AB)^-1A
= E-BA+BA
= E.
所以 E-BA 可逆,且 (E-BA)^-1 = E+B(E-AB)^-1A.

这个有个很典型的公式，你是数学系的一定要会。
det（En-AB）=det（Em-BA），可逆矩阵行列式不为0，行列式不为0矩阵可逆。所以后者是可逆矩阵。
公式证明如下：分块矩阵
[En A
B Em]经过初等行列变换可以变成如下两种形式
[En 0
0 Em-BA]和
[En-AB 0
0 ,Em]
初等变换不...

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这个有个很典型的公式，你是数学系的一定要会。
det（En-AB）=det（Em-BA），可逆矩阵行列式不为0，行列式不为0矩阵可逆。所以后者是可逆矩阵。
公式证明如下：分块矩阵
[En A
B Em]经过初等行列变换可以变成如下两种形式
[En 0
0 Em-BA]和
[En-AB 0
0 ,Em]
初等变换不改变行列式的值，因此得到结论。

收起

设A是m阶矩阵,B是n阶矩阵,原题（如图）,答案选哪个,为什么设A是m*n矩阵,且AB=CA,则B一定是?阶矩阵设A是m*n矩阵,B是n*m矩阵,其中n 请解一线性代数题:设A是n*m矩阵,B是m*n矩阵,其中n 设A为m×n阶矩阵,B是n×m矩阵,则r(AB)是A 大于m B 小于m C 等于m D等于n a是m*n矩阵,b是n*m矩阵,ab是几阶矩阵?如果是m阶矩阵,为什么?题目中未说明m和n的大小? 设A为m阶正定矩阵,B是m*n实矩阵,且R（B）=n,证明B'AB也是正定矩阵设A是m×n阶矩阵,B是n×m阶矩阵,证明：如果m>n,那么行列式|AB|=0. 设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n矩阵,证明:BTAB为正定矩阵的充要条件是rankB=n 设A是m*n矩阵,B是n*s矩阵,证明秩r(AB) 设A是m×n矩阵,B是n×m矩阵,若m＞n,则│AB│＝? 设a b是m×n矩阵,则( )成立设A是n*m阶矩阵,B是m*n阶矩阵,如果En-AB是可逆矩阵,（E是单位矩阵）,证明：Em-BA也是可逆矩阵设A是n*m矩阵,B是m*n,n 设A是m阶矩阵,B是n阶矩阵,求行列式为何是经过了m*n次变换 A是m*n矩阵,B是n*m矩阵,m>n,证明：|AB|=0 4、设A是S*t阶矩阵,B是m*n阶矩阵,如果ABC有意义,则c应是---------阶矩阵设A为m×n阶矩阵,B是n×m矩阵,则线性方程组(AB)x=0（）.（A）当n>m时仅有零解（B）当n>m时必有非零解（C）当n