已知 在Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交AB于D,交BC于E,AE,CD相交于点O.(1)求证:∠CDE=∠CAE(2)求证:OE /OC =AB /2BC

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/08 05:01:32
已知 在Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交AB于D,交BC于E,AE,CD相交于点O.(1)求证:∠CDE=∠CAE(2)求证:OE /OC =AB /2BC

已知 在Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交AB于D,交BC于E,AE,CD相交于点O.(1)求证:∠CDE=∠CAE(2)求证:OE /OC =AB /2BC
已知 在Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交AB于D,交BC于E,AE,CD相交于点O.(1)求证:∠CDE=∠CAE
(2)求证:OE /OC =AB /2BC 

已知 在Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交AB于D,交BC于E,AE,CD相交于点O.(1)求证:∠CDE=∠CAE(2)求证:OE /OC =AB /2BC
(1)
证明:
∵DE垂直平分AB
∴AD=BD,∠ADE=∠ACE=90°
∴A,C,E,D四点共圆
∴∠CDE=∠CAE
【主要是证明2问,若没学四点共圆,你就根据2问用
∠BAC=∠BED,
∠BAC=∠CAE+∠DAE,
∠BED=∠CDE+∠ECO
.略】

(2)
以B为圆心,BD为半径画弧,交CD延长线于F,连接BF
则BD=BF
∴∠F=∠BDF
∵DE垂直平分AB
∴AE=BE(垂直平分线上的点到线段两端距离相等)
∴∠EAD=∠EBD
∵CD=BD(直角三角形斜边中线等于斜边的一半)
∴∠ECO=∠EBD
∵∠OEC=∠EAD+∠EBD=2∠EBD
    ∠BDF=∠ECO+∠EBD=2∠EBD
∴∠OEC=∠BDF=∠F
又∵∠ECO=∠FCB(公共角)
∴△ECO∽△FCB(AA)
∴OE/OC=BF/BC 
∵BF=BD=½AB
∴BF/BC=AB/2BC
∴OE/OC=AB/2BC