作业帮已知a是抛物线y^2=2px(p>0)上一点,F为抛物线的焦点,准线l与x轴交与点K,已知|AK|=√2|AF|,△AKF的面积为8(1).求p的值;(2).过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线l1和l2,与抛物线相交得两条弦,两天弦
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 15:23:09
已知a是抛物线y^2=2px(p>0)上一点,F为抛物线的焦点,准线l与x轴交与点K,已知|AK|=√2|AF|,△AKF的面积为8(1).求p的值;(2).过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线l1和l2,与抛物线相交得两条弦,两天弦
已知a是抛物线y^2=2px(p>0)上一点,F为抛物线的焦点,准线l与x轴交与点K,已知|AK|=√2|AF|,△AKF的面积为8
(1).求p的值;
(2).过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线l1和l2,与抛物线相交得两条弦,两天弦的中点分别为G,H,求|GH|的最小值.
(注:题目中的"√"为根号,"l1"中"l"是英文字母"L"的小写)
已知a是抛物线y^2=2px(p>0)上一点,F为抛物线的焦点,准线l与x轴交与点K,已知|AK|=√2|AF|,△AKF的面积为8(1).求p的值;(2).过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线l1和l2,与抛物线相交得两条弦,两天弦
[1]过A点做AF'平行与x轴,交准线于F’点,
那么由抛物线的定义有|AF|=|AF'|,
因为|AK|=√2|AF|,所以有|AK|=√2|AF'|
从而在直角△AF'K中cos∠F'AK=√2/2
所以∠F'AK=45°,于是p=|AF'|=|F'K|,
说明A点的纵坐标为p或者-p,
故此S△=p*p/2=8,于是p=4
[2]抛物线方程为y^2=8x,焦点为(-2,0)
设l1方程为y=k(x-2),
那么l2方程是y=(-1/k)(x-2)
将y=k(x-2)与y^2=8x联立得到
k^2*x^2-(4k^2+8)x+4k^2=0...(*)
有两个根,那么就有
△1=(4k^2+8)^2-4k^2*4k^2>0
得到4k^2+4>0.（**）
显然,所以只要求k不为零即有l1与抛物线有两根
由韦达公式
那么其中点坐标为G(2+4/k^2,4/k)
将l2方程与抛物线方程联立,其实就是将(*)(**)中k换成-1/k即可,因为l1与l2的位置是等同的
所以同样有k不为0的要求,其中点坐标是
H(2+4k^2,-4k)
|GH|^2=16/k^4+16k^4+16/k^2+16k^2
用两次均值不等式就可以得到最小值
|GH|^2>=2√(16*16）+2√(16*16)=64
所以GH最小为8
当16/k^2=16k^2时取到,此时k=1或者-1,
即两条直线是
y=x-2
y=-x-2
过A作AH⊥l，垂足为H，则|AH|=|AF| |AK|=√2|AH| △AHK为等腰直角三角形，设A（x0，y0）y0＞0 则y0=x0+p/2 △AKF的面积为(x0+p/2)y0/2=8 y0=4,x0=4-p/2,代入抛物线方程 16=2p(4-p/2) p=4 (2)看图片吧！