作业帮已知定义在R上的函数f(x)满足①:f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy;②:f(0)=0,f(π/2)=1,求(1)判断f(x)的奇偶性;(2)求f(x)(3)求f(x)+cosx+f(x)cosx(4)求f(x)+cosx+f(x)·cosx的最大值.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 19:31:12
已知定义在R上的函数f(x)满足①:f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy;②:f(0)=0,f(π/2)=1,求(1)判断f(x)的奇偶性;(2)求f(x)(3)求f(x)+cosx+f(x)cosx(4)求f(x)+cosx+f(x)·cosx的最大值.
已知定义在R上的函数f(x)满足①:f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy;②:f(0)=0,f(π/2)=1,求
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)求f(x)
(3)求f(x)+cosx+f(x)cosx
(4)求f(x)+cosx+f(x)·cosx的最大值.
已知定义在R上的函数f(x)满足①:f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy;②:f(0)=0,f(π/2)=1,求(1)判断f(x)的奇偶性;(2)求f(x)(3)求f(x)+cosx+f(x)cosx(4)求f(x)+cosx+f(x)·cosx的最大值.
(1) ①中令x=0,得 f(y)+f(-y)=0.故f(x)为奇函数.(2) 由①得 f(y+x)+f(y-x)=2f(y)cosx,故 f(x+y)-f(x-y)=2f(y)cosx,结合①得 f(x+y)= f(x)cosy+f(y)cosx,故 f(x+π/2) =f(π/2)cosx,f(x+π/2) =cosx,x-π/2代替x得f(x) =sinx,(3) f(x)+cosx+f(x)cosx= sinx+cosx+sinxcosx= sinx+cosx+(sin2x)/2.(4) 令g(x)=sinx+cosx+sinxcosx=√2∙sin(x+π/4)+(sin2x)/2,g(x-π/4)= √2∙sin(x)-(cos2x)/2,令t=sinx,则 g=t2+√2t-1/2,|t|≤1.t=1时 g取得最大值 √2+1/2,此时 x=π/2.
由①得f(x)+f(y)=2f[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]
1、令y=-x得f(x)为奇函数。
2、对x求偏导，并令y=-x，得f'(x)=f'(0)cosx，于是f(x)=f'(0)sinx+C。而f(0)=0,f(π/2)=1得C=0,f'(0)=1.故f(x)=sinx
3、√2+1/2，x=π/4