如图,四边形ABCD内接于圆,对角线AC与BD相交于点E、F在AC上,AB=AD,∠BFC=∠BAD=2∠DFC已知求证（1）CD⊥DF；（2）BC=2CD

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/05 22:01:59

如图,四边形ABCD内接于圆,对角线AC与BD相交于点E、F在AC上,AB=AD,∠BFC=∠BAD=2∠DFC已知求证（1）CD⊥DF；（2）BC=2CD
如图,四边形ABCD内接于圆,对角线AC与BD相交于点E、F在AC上,AB=AD,∠BFC=∠BAD=2∠DFC已知
求证（1）CD⊥DF；
（2）BC=2CD

如图,四边形ABCD内接于圆,对角线AC与BD相交于点E、F在AC上,AB=AD,∠BFC=∠BAD=2∠DFC已知求证（1）CD⊥DF；（2）BC=2CD
1）
作直径AG,连接BG
则∠ABG是直角
所以∠G+∠BAG＝90度
因为AB＝AD
所以弧AB＝弧AD,
所以弧BG＝弧DG
所以∠G＝∠ACD,∠BAG＝∠DAG＝∠BAD/2
因为∠BAD=2∠DFC
所以∠DFC＝∠BAG
所以∠DFC+∠ACD＝90度
所以CD⊥DF
2）
作FH⊥BC
因为弧AB＝弧AD
所以∠ACD＝∠ACB
因为∠CDF＝∠CHF＝90度,CF＝CF
所以△CDF≌△CHF
所以CD＝CH,∠CFD＝∠CFH
因为∠BFC＝2∠CFD
所以∠BFH＝∠CFH＝∠CFD
因为∠BHF＝∠CHF＝90度,FH＝FH
所以△CFH≌△BFH
所以BH＝CH
所以BH＝CH＝CD
所以BC＝2CD
江苏吴云超解答供参考!

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证明：（1）∵AB=AD，
∴弧AB=弧AD，∠ADB=∠ABD．
∵∠ACB=∠ADB，∠ACD=∠ABD，
∴∠ACB=∠ADB=∠ABD=∠ACD．
∴∠ADB=（180°-∠BAD）÷2=90°-∠DFC．
∴∠ADB+∠DFC=90°，即∠ACD+∠DFC=90°，
∴CD⊥DF．
（2）过F作FG⊥BC，
∵∠ACB=∠ADB，
又∠BFC=∠BAD，
∴∠FBC=∠ABD=∠ADB=∠ACB．
∴FB=FC．
∴FG平分BC，G为BC中点，∠GFC= ∠BAD=∠DFC．
∴△FGC≌△DFC（∠GFC=∠DFC，FC=FC，∠ACB=∠ACD）．
∴CD=GC= BC．
∴BC=2CD．
图片就不传了

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在三角形ABD和FCB中，∠BAD=∠CFB，由AB=AD，知∠FCB=∠ABD，故∠FBC=∠BDA，因此AD//BC，AB=CD=AD.
再由AB=AD，知∠ACB=∠ACD，又知道∠BAD+∠BCD=180度，即2∠DFC+2∠FCD=180度，所以∠DFC+∠FCD=90度，∠FDC=90度，CD⊥DF
过F做FG⊥BC于G，可知，△FGC与△FDC全等，所以∠DFC=∠GFC=∠BFG，即FG是∠BFC的角平分线，所以FBC是等腰三角形，∠DBC=∠FCB=∠FBC，所以F是AC和BD的交点，从而∠BFC+∠DFC=180度，角DFC=60度，∠FCD=∠FCB=30度，在三角形BDC中，角BDC是直角，角DBC=30度，所以BC=2CD

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（1）∵AB=AD，
∴弧AB=弧AD，
∠ADB=∠ABD．
∵∠ACB=∠ADB，∠ACD=∠ABD，
∴∠ACB=∠ADB=∠ABD=∠ACD．
∴∠ADB=（180°-∠BAD）÷2=90°-∠DFC．
∴∠ADB+∠DFC=90°，
∠ACD+∠DFC=90°，
∴CD⊥DF．
（2）过F作FG⊥BC，
∵∠ACB=∠ADB，
又∵∠BFC=∠BAD，
∴∠FBC=∠ABD=∠ADB=∠ACB．
∴FB=FC．
∴FG平分BC，G为BC中点，∠GFC= ∠BAD=∠DFC．
又∵∠GFC=∠DFC，FC=FC，∠ACB=∠ACD
∴△FGC≌△DFC
∴CD=GC= BC．
∴BC=2CD．
我也刚做到这题

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