已知数列an=1/(3^(n-1)),记其前n项和为Sn,证明对一切n∈N*,Sn

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/13 03:37:20
已知数列an=1/(3^(n-1)),记其前n项和为Sn,证明对一切n∈N*,Sn

已知数列an=1/(3^(n-1)),记其前n项和为Sn,证明对一切n∈N*,Sn
已知数列an=1/(3^(n-1)),记其前n项和为Sn,证明对一切n∈N*,Sn<3/2恒成立.

已知数列an=1/(3^(n-1)),记其前n项和为Sn,证明对一切n∈N*,Sn
已知等比数列通项公式,求前n项和的取值范围.
n是正整数集中任一元素,由an=1/(3^(n-1))=(1/3)^(n-1)
可知,首项为当n=1时,a1=1,
   公比为q=1/3,是一个无穷递减等比数列,所以Sn有范围,最小为1.
最大的求法:
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
=1*(1-(1/3)^n)/(1-1/3)
=3/2-(3/2)(1/3)^n
=3/2-1/(2*3^(n-1))
由于n从1取到无限,所以2*/3^(n+1)会越来越大.
所以Sn=3/2-1/(2*3^(n-1))恒

Sn=1/3^0 + 1/3^1 + ...+1/3^(n-1)
1/3 * Sn=1/3^1+ 1/3^2 + ...+1/3^n
Sn-1/3*Sn=2/3 *Sn = 1/3 - 1/3^n
所以,Sn=1/2 - 1/(2*3^(n-1))<1/2<3/2

an是首项为1,公比为1/3的等比数列,由等比数列求和公式有sn=3/2*(1-1/(3^n)),1/(3^n)>0恒成立,故1-1/(3^n)<1,故Sn<3/2恒成立。

根据已知条件,an为等比数列,a1=1,比值q=an/a(n-1)=1/3
所以Sn=a1(1-q^n)/(1-q) = (1-(1/3)^n)/(1-1/3) = 3/2 - (1/3)^n/(3/2) < 3/2