已知三个非负数a.b.c满足3a+2b+c=5,2a+b-3c=1,若S=3a+b-7c的最小值为M,最大值为N,则MN=?

已知三个非负数a.b.c满足3a+2b+c=5,2a+b-3c=1,若S=3a+b-7c的最小值为M,最大值为N,则MN=?
已知三个非负数a.b.c满足3a+2b+c=5,2a+b-3c=1,若S=3a+b-7c的最小值为M,最大值为N,则MN=?

已知三个非负数a.b.c满足3a+2b+c=5,2a+b-3c=1,若S=3a+b-7c的最小值为M,最大值为N,则MN=?
先找出关于m=3a+b-7c的一元表达式
解方程组
3a+2b+c=5.（1）
2a+b-3c=1.（2）
得
a-7c=-3.(3)
b+11c=7.(4)
由（1）-（4）得：
3a+b-10c=-2,即3a+b-7c=3c-2
所以：m=3a+b-7c=3c-2.(5)
第二步：求出c的取值范围
因a,b,c均为非负数,故
由（3）得：a=7c-3≥0
c≥3/7
由（4）得：b=7-11c≥0
c≤7/11
所以3/7≤c≤7/11≤7/11
第三步：讨论
①当c=7/11时,代入（5）m值最大,为-1/11
②当c=3/7时,代入（5）m值最小,为-5/7

3a+2b+c=5 （1）
2a+b-3c=1 （2）
3a+b-7c=S （3）
（1）-（3），得
b+8c=5-S (4)
(2)*3-(3)*2,得
b+5c=3-2S (5)
(4)-(5),得
3c=2+S

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3a+2b+c=5 （1）
2a+b-3c=1 （2）
3a+b-7c=S （3）
（1）-（3），得
b+8c=5-S (4)
(2)*3-(3)*2,得
b+5c=3-2S (5)
(4)-(5),得
3c=2+S
c=(2+S)/3 (6)
(6)代入(5)得
b=-(1+S)/3 (7)
(6),(7)代入（2），得
a=(10+4S)/3
依题意有
(10+4S)/3>=0,S>=-5/2
-(1+S)/3>=0,S<=-1
(2+S)/3>=0,S>=-2
所以 -2<=S<=-1
即S的最大值N是-1，最小值M是-2，MN=（-2）（-1）=2

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