已知关于X的二次函数y=ax^2+bx+c的图像经过点C（0,1）,且与x轴交于不同的两点A,B.点A的坐标为（1,0）（3）该二次函数的图像与直线y=1交于C,D两点,设A,B,C,D四点构成的四边形的对角线相交于点P,记

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/10 13:58:50

已知关于X的二次函数y=ax^2+bx+c的图像经过点C（0,1）,且与x轴交于不同的两点A,B.点A的坐标为（1,0）（3）该二次函数的图像与直线y=1交于C,D两点,设A,B,C,D四点构成的四边形的对角线相交于点P,记
已知关于X的二次函数y=ax^2+bx+c
的图像经过点C（0,1）,且与x轴交于不同的两点A,B.点A的坐标为（1,0）
（3）该二次函数的图像与直线y=1交于C,D两点,设A,B,C,D四点构成的四边形的对角线相交于点P,记△PCD的面积为S1,△PAB的面积为S2,当0＜a＜1时,求证S1-S2为常数,并求出该常数.

已知关于X的二次函数y=ax^2+bx+c的图像经过点C（0,1）,且与x轴交于不同的两点A,B.点A的坐标为（1,0）（3）该二次函数的图像与直线y=1交于C,D两点,设A,B,C,D四点构成的四边形的对角线相交于点P,记
这个是今年广州市中考题第24题,我栽在这道题第3问上了,现在给出我的答案：
首先从第1问可以得到c=1,从第二问可以得到a+b+1=0,下面计算第三问：
由题设知,0＜a＜1,
函数y=ax^2-(a+1)x+1与x轴的交点为A(1,0)和B(1/a,0),
与直线y=1交于C(0,1)和D((a+1)/a,1),
则AB=(1-a)/a,CD=(a+1)/a,
记△PAB的高h[AB],△PCD的高为h[CD],
则h[AB]+h[CD]=1（y=1与x轴之间的距离为1）,
显然△PAB与△PCD相似,
故h[AB]/h[CD]=AB/CD=(1-a)/(1+a),
解得h[AB]=(1-a)/2,h[CD]=(1+a)/2,
故S2=S△PAB=AB*h[AB]/2=(1-a)^2/4a,
S1=S△PCD=CD*h[CD]/2=(1+a)^2/4a,
则S1-S2=4a/4a=1,
也就是说,S1-S2为常数.

由题，此方程有2个不同实数解，即Δ＞0 b^2-4*a*(b-1)＞0 b^2-4ab+4a＞0 若使得上式恒成立，即关于b的二次函数b^2-4ab+4a最小值大于0

全部展开

该常数是3/2
根据A、C点坐标可求出函数表达式为y=ax^2-(a+1)x+1.
与y=1的交点D的坐标可以用含a的式子表达出来，即D（(a+1)/a,1）
点B的坐标也可以用含a的式子表达出来，即B（1/a，0）。
则线段CD=（a+1）/a、线段AB=（1-a）/a
设△PCD的高为h1，△PAB的高为h2，
则S1-S2=（CD/2）×h1-（AB/2）×h2
=（1/2）[(a+1)/a]×h1-（1/2）[(1-a)/a]×h2
=[（h1-h2）/2a]+1
∵h1、h2为△PCD和△PAB的高，且AD、BC交于P
∴h1+h2=1
可证△PCD和△PAB相似，∴CD/AB=H1/H2
代入化简，结果为h1=[(a+1)/(1-a)]h2
则h1+h2=1
[(a+1)/(1-a)]h2+h2=1
h2=（1-a）/2，h1=(a+1)/2
代入，
S1-S2=[（h1-h2）/2a]+1=3/2
∴S1-S2为常数，该常数为3/2

收起