在数列an中,a1=1,an=2a(n-1)+（n+2）/(n×(n+1)) (n≥2 ) 求a2、a3、a4 an的通项公式

在数列an中,a1=1,an=2a(n-1)+（n+2）/(n×(n+1)) (n≥2 ) 求a2、a3、a4 an的通项公式
在数列an中,a1=1,an=2a(n-1)+（n+2）/(n×(n+1)) (n≥2 ) 求a2、a3、a4 an的通项公式

在数列an中,a1=1,an=2a(n-1)+（n+2）/(n×(n+1)) (n≥2 ) 求a2、a3、a4 an的通项公式
an=2a(n-1)+(n+2)/[n(n+1)]
=2a(n-1)+(n+2)[1/n -1/(n+1)]
=2a(n-1)+(n+2)/n -(n+1+1)/(n+1)
=2a(n-1)+1+2/n -1 -1/(n+1)
=2a(n-1) +2/n -1/(n+1)
an +1/(n+1)=2a(n-1) +2/n=2[a(n-1) +1/n]
[an+1/(n+1)]/[a(n-1)+1/n]=2,为定值.
a1 +1/2=1+1/2=3/2
数列{an +1/(n+1)}是以3/2为首项,2为公比的等比数列.
an +1/(n+1)=(3/2)×2^(n-1)=3×2^(n-2)
an=3×2^(n-2) -1/(n+1)
n=1时,a1=3×2^(1-2)- 1/2=3/2 -1/2=1,同样满足.
数列{an}的通项公式为an=3×2^(n-2) -1/(n+1).