什么是素数?数学家为什么对它们感兴趣?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/29 03:10:08
什么是素数?数学家为什么对它们感兴趣?

什么是素数?数学家为什么对它们感兴趣?
什么是素数?数学家为什么对它们感兴趣?

什么是素数?数学家为什么对它们感兴趣?
素数是这样的整数,它除了能表示为它自己和1的乘积
  以外,不能表示为任何其它两个整数的乘积.例如,15=
  3×5,所以15不是素数;又如,12=6×2=4×3,
  所以12也不是素数.另一方面,13除了等于13×1以
  外,不能表示为其它任何两个整数的乘积,所以13是一个
  素数.
  有的数,如果单凭印象去捉摸,是无法确定它到底是不
  是素数的.有些数则可以马上说出它不是素数.一个数,不
  管它有多大,只要它的个位数是2、4、5、6、8或0,
  就不可能是素数.此外,一个数的各位数字之和要是可以被
  3整除的话,它也不可能是素数.但如果它的个位数是1、
  3、7或9,而且它的各位数字之和不能被3整除,那么,
  它就可能是素数(但也可能不是素数).没有任何现成的公
  式可以告诉你一个数到底是不是素数.你只能试试看能不能
  将这个数表示为两个比它小的数的乘积.
  找素数的一种方法是从2开始用“是则留下,不是则去
  掉”的方法把所有的数列出来(一直列到你不想再往下列为
  止,比方说,一直列到10000).第一个数是2,它是
  一个素数,所以应当把它留下来,然后继续往下数,每隔一
  个数删去一个数,这样就能把所有能被2整除、因而不是素
  数的数都去掉.在留下的最小的数当中,排在2后面的是3,
  这是第二个素数,因此应该把它留下,然后从它开始往后数,
  每隔两个数删去一个,这样就能把所有能被3整除的数全都
  去掉.下一个未去掉的数是5,然后往后每隔4个数删去一
  个,以除去所有能被5整除的数.再下一个数是7,往后每
  隔6个数删去一个;再下一个数是11,往后每隔10个数
  删一个;再下一个是13,往后每隔12个数删一个.……
  就这样依法做下去.
  你也许会认为,照这样删下去,随着删去的数越来越多,
  最后将会出现这样的情况;某一个数后面的数会统统被删去
  因此在某一个最大的素数后面,再也不会有素数了.但是实
  际上,这样的情况是不会出现的.不管你取的数是多大,百
  万也好,万万也好,总还会有没有被删去的、比它大的素数.
  事实上,早在公元前300年,希腊数学家欧几里得就
  已证明过,不论你取的数是多大,肯定还会有比它大的素数,
  假设你取出前6个素数,并把它们乘在一起:
  2×3×5×7×11×13=30030,然后再加上1,
  得30031.这个数不能被2、3、5、7、11、13
  整除,因为除的结果,每次都会余1.如果30031除了
  自己以外不能被任何数整除,它就是素数.如果能被其它数
  整除,那么30031所分解成的几个数,一定都大于13.
  事实上,30031=59×509.
  对于前一百个、前一亿个或前任意多个素数,都可以这
  样做.如果算出了它们的乘积后再加上1,那么,所得的数
  或者是一个素数,或者是比所列出的素数还要大的几个素数
  的乘积.不论所取的数有多大,总有比它大的素数,因此,
  素数的数目是无限的.
  随着数的增大,我们会一次又一次地遇到两个都是素数
  的相邻奇数对,如5,7;11,13;17,19;29,
  31;41,43;等等.就数学家所能及的数来说,他们
  总是能找到这样的素数对.这样的素数对到底是不是有无限
  个呢?谁也不知道.数学家认为是无限的,但他们从来没能
  证明它.这就是数学家为什么对素数感兴趣的原因.素数为
  数学家提供了一些看起来很容易、但事实却非常难以解决的
  问题,他们目前还没能对付这个挑战哩.
  这个问题到底有什么用处呢?它除了似乎可以增添一些
  趣味以外,什么用处也没有.