作业帮1.设椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),斜率为1的直线不经过原点O,而且与椭圆相交与A,B两点,M为线段AB的中点,直线AB与OM能否垂直?请证明2.设A,B分别是直线y=(2倍根号5/5)*x和y=-(2倍根号5/5)*x上的动
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/15 09:39:50
1.设椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),斜率为1的直线不经过原点O,而且与椭圆相交与A,B两点,M为线段AB的中点,直线AB与OM能否垂直?请证明2.设A,B分别是直线y=(2倍根号5/5)*x和y=-(2倍根号5/5)*x上的动
1.设椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),斜率为1的直线不经过原点O,而且
与椭圆相交与A,B两点,M为线段AB的中点,直线AB与OM能否垂直?请证明
2.设A,B分别是直线y=(2倍根号5/5)*x和y=-(2倍根号5/5)*x上的动点,且｜AB｜=2倍根号5,设
O为坐标原点,动点P满足:向量OP=向量OA+向量OB,求动点P的轨迹方程
1.设椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),斜率为1的直线不经过原点O,而且与椭圆相交与A,B两点,M为线段AB的中点,直线AB与OM能否垂直?请证明2.设A,B分别是直线y=(2倍根号5/5)*x和y=-(2倍根号5/5)*x上的动
1.用点差法:
设A=(m,n),B=(p,q),代入椭圆方程得m^2/a^2+n^2/b^2=1,p^2/a^2+q^2/b^2=1
二式相减,得(m-p)(m+p)/a^2+(n-q)(n+q)/b^2=0,上式两边同除以
(m-p)(m+q),(由AB直线斜率为1知(n-q)/(m-p)=1),故得到
1/a^2+(n+q)/(m+p)b^2=0,(这里最好说明一下m+q不为0,可用反证法得到,否则AB过原点),由上式整理得(n+q)/(m+p)=-b^2/a^2 (*)
然而以由假设AB与OM垂直,AB斜率为1,故OM斜率为-1,M点的坐标由中点公式可得
((m+p)/2,(n+q)/2),故由斜率为-1应该得(n+q)/(m+p)=-1
结合(*)式应得-b^2/a^2=-1,由于在椭圆里b/a不等于1,因此上式不成立,即不可能垂直
2.设A(a,2倍根号5/5*a),B(b,2倍根号5/5*b)
由|AB|=2倍根号5,立刻可得(a-b)^2+4/5(a+b)^2=20 (*)
由OP=OA+OB,可得P点坐标为(a+b,2倍根号5/5(a-b))=(x,y)
则由(*)式立刻可得轨迹方程为(y/2倍根号5/5)^2+x^2/(5/4)=20
整理一下发现为一个椭圆方程,定义域为全椭圆范围