设A,B是双曲线的两个焦点,C在双曲线上.已知△ABC的三边长成等差数列,且∠ACB=120,则该双曲线离心率为

设A,B是双曲线的两个焦点,C在双曲线上.已知△ABC的三边长成等差数列,且∠ACB=120,则该双曲线离心率为
设A,B是双曲线的两个焦点,C在双曲线上.已知△ABC的三边长成等差数列,且∠ACB=120,则该双曲线离心率为

设A,B是双曲线的两个焦点,C在双曲线上.已知△ABC的三边长成等差数列,且∠ACB=120,则该双曲线离心率为
不妨设点C在双曲线的右支上,AB=2c.
∠A C B=120 °, AB最长,CA-CB=2a,
三边长成等差数列, 则2c+CB=2CA
根据余弦定理可得：CA^2+CB^2-2CACBcos120°=AB^2,
即CA^2+CB^2-2CACBcos120°=4c^2,
将CB=2CA-2c代入上式可得：
CA^2+(2CA-2c)^2+CA(2CA-2c) =4c^2,
即7 CA^2-10c* CA=0, CA=10c/7.
所以CB=2CA-2c=6c/7.
因为CA-CB=2a,所以10c/7-6c/7=2a,
即4c/7=2a,
∴c/a=7/2,即e=7/2.