已知：X、Y为正数,且有2x+y-xy=0,求x+y的最小值

已知：X、Y为正数,且有2x+y-xy=0,求x+y的最小值
已知：X、Y为正数,且有2x+y-xy=0,求x+y的最小值

已知：X、Y为正数,且有2x+y-xy=0,求x+y的最小值
设x+y=t,则y=t-x.代入2x+y-xy=0得
2x+(t-x)-x(t-x)=0,整理得：
x^2+(1-t)x+t=0,此方程有根且根为正数,
因此⊿=(1-t)^2-4t>=0,且-(1-t)>0且t>0,
得t>=3+2√2,t的最小值是3+2√2.

y=2x/(x-1)>0 所以 x>1
x+y=x+2x/(x-1)=(2x-2+2)/(x-1)+x
=2+2/(x-1)+x
=3+2/(x-1)+(x-1)>=3+2*根号2

x+y≥2√xy 均值定理
2x+y-xy=0
xy=2x+y
x+y≥2√(2x+y)
所以最小值为2√(2x+y)

2x＋y=xy，则2/y＋1/x=1，所以x＋y=(x＋y)(2/y＋1/x)=3＋2x/y＋y/x≥3＋4√2，
即x＋y的最小值是3＋4√2。

这里我有个小疑惑，就是题目原来是不是说x和y都是正整数，或者保证y>=1,要是这样子的话，就按这样做（以前高中我好像是如下做的）：
2x+y-xy=0
x+y=xy-x
x+y=x(y-1)
这里就看出来我说的y>1的作用了，是保证y-1>0
根据ab<=(a+b)^2/4
那么上面等式的右边<=(x+y-1)^2/4
我们令k=x+y

全部展开

这里我有个小疑惑，就是题目原来是不是说x和y都是正整数，或者保证y>=1,要是这样子的话，就按这样做（以前高中我好像是如下做的）：
2x+y-xy=0
x+y=xy-x
x+y=x(y-1)
这里就看出来我说的y>1的作用了，是保证y-1>0
根据ab<=(a+b)^2/4
那么上面等式的右边<=(x+y-1)^2/4
我们令k=x+y
则
k<=(k-1)^2/4
可以解不等式，得到k的最小值是3+2根号2
哦，上面疑惑y>1不用告诉了，因为吧已知变形x=y/(y-2)>0,所以y>2>1了，哈哈，这是隐藏条件，以后要小心！

收起

2x＋y=xy，则2/y＋1/x=1，所以x＋y=(x＋y)(2/y＋1/x)=3＋2x/y＋y/x≥3＋2√2，即x＋y的最小值是3＋2√2。

先问问你是几年级的？大学的解法是拉格朗日函数
Min x+y
s.t. 2x+y-xy=0
设拉格朗日函数
L=x+y+λ(2x+y-xy)
一阶导 y-2=1/λ
x-1=1/λ
2x+y-xy=0
解方程组x=1+跟号2 或x=1-跟号2（舍）
x+y=2X+1=3+2根号2

全部展开

先问问你是几年级的？大学的解法是拉格朗日函数
Min x+y
s.t. 2x+y-xy=0
设拉格朗日函数
L=x+y+λ(2x+y-xy)
一阶导 y-2=1/λ
x-1=1/λ
2x+y-xy=0
解方程组x=1+跟号2 或x=1-跟号2（舍）
x+y=2X+1=3+2根号2
如果你不是大学生估计我要浪费采纳率了。刚看到楼上的回答也很精彩。

收起