作业帮已知抛物线C:y^＝2px(p＞0)的焦点为F,直线l过定点A(4,0),且余抛物线交于P、Q两点.（1）若以弦PQ为直径的圆过原点O,求p的值.（2）在（1）的条件下,若向量FP+向量FQ=向量FR,求动点R的轨迹方程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/16 08:07:26
已知抛物线C:y^＝2px(p＞0)的焦点为F,直线l过定点A(4,0),且余抛物线交于P、Q两点.（1）若以弦PQ为直径的圆过原点O,求p的值.（2）在（1）的条件下,若向量FP+向量FQ=向量FR,求动点R的轨迹方程
已知抛物线C:y^＝2px(p＞0)的焦点为F,直线l过定点A(4,0),且余抛物线交于P、Q两点.
（1）若以弦PQ为直径的圆过原点O,求p的值.
（2）在（1）的条件下,若向量FP+向量FQ=向量FR,求动点R的轨迹方程
已知抛物线C:y^＝2px(p＞0)的焦点为F,直线l过定点A(4,0),且余抛物线交于P、Q两点.（1）若以弦PQ为直径的圆过原点O,求p的值.（2）在（1）的条件下,若向量FP+向量FQ=向量FR,求动点R的轨迹方程
分析：（Ⅰ）设出直线l的方程代入抛物线的方程消去x,设出P,Q的坐标,利用韦达定理表示出y1+y2和y1y2,利用 OP→•OQ→=0,求得0=x1x2+y1y2,求得p,则焦点坐标可得．
（Ⅱ）设出R,利用 FP→+FQ→=FR→求得x1+x2=x+1,y1+y2=y,进而根据y12=4x1,y22=4x2和FR中点坐标,利用kPQ=kMA求得x和y的关系式,当x1=x2时,R的坐标为（7,0）,也满足y2=4x-28,进而推断出y2=4x-28即为动点R的轨迹方程．
（Ⅰ）设直线l方程为x=ky+4,代入y2=2px得y2-2kpy-8p=0
设P（x1,y1）,Q（x2,y2）,则有y1+y2=2kp,y1y2=-8p
而 OP→•OQ→=0,
故0=x1x2+y1y2=（ky1+4）（ky2+4）-8p=k2y1y2+4k（y1+y2）+16-8p
即0=-8k2 p+8k2p+16-8p,得p=2,焦点F（1,0）．
（Ⅱ）设R（x,y）,由 FP→+FQ→=FR→
得（x1-1,y1）+（x2-1,y3）=（x-1,y）
所以x1+x2=x+1,y1+y2=y
而y12=4x1,y22=4x2,
可得y（y1-y2）=（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）
又FR的中点坐标为 M(x+12,y2),
当x1≠x2时,利用kPQ=kMA有 4y=y1-y2x1-x2=y2x+12-4
整理得,y2=4x-28．
当x1=x2时,R的坐标为（7,0）,也满足y2=4x-28．
所以y2=4x-28即为动点R的轨迹方程．